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三次線段與路徑

繪圖端畫的是三次曲線：TikZ 的 .. controls ..、SVG 的 C 與 Matplotlib 的 CURVE4 都接收四個控制點。CubicBezierSegment 就是以數值物件表示的三次曲線，PiecewiseBezier 則把三次曲線連接成路徑。

三次線段

CubicBezierSegment(
    p0,
    p1,
    p2,
    p3,
    *,
    fit_error=None
)
fit_errorfloat | None預設值： None

擬合線段的實測誤差（詳見擬合）；分割、截取與反轉後保留，判斷相等時忽略。

as_curve()

轉為 3 次 BezierCurve，不改變任何控制點。

from_curve(curve)

由 3 次 BezierCurve 轉換，不改變任何控制點。

from_line()

直線的精確三次表示（詳見直線與二次曲線的三次表示）。

from_quadratic()

二次曲線的精確三次表示（詳見直線與二次曲線的三次表示）。

不可變的三次曲線，四個控制點即欄位 p0、p1、p2、p3（亦可用 control_points 或逐一取出）。求值、微分、分割、截取與反轉的方式與 BezierCurve 相同，但 split()、segment() 與 reversed() 仍回傳三次線段。segment(t, t) 回傳四個控制點都是 \(B(t)\) 的退化三次曲線。

緊密邊界框

定義 · 軸對齊邊界框

非空有界集合 \(K \subset \mathbb{R}^d\) 的軸對齊邊界框，是包含 \(K\) 的最小方框

\[ [\alpha_1, \beta_1] \times \ldots \times [\alpha_d, \beta_d], \]

其中 \(\alpha_k = \inf \lbrace x_k : x \in K\rbrace\)、\(\beta_k = \sup \lbrace x_k : x \in K\rbrace\)。

控制點凸包包含曲線（詳見凸包），但可能比曲線大得多。bounding_box 回傳曲線本身的軸對齊邊界框所定義的方框（參見三次曲線的緊密邊界框。），其候選點來自各座標導數的根。

命題 · 三次曲線的邊界框

設 \(B\) 是控制點為 \(P_0, \ldots, P_3 \in \mathbb{R}^d\) 的三次曲線，令

\[ a = -P_0 + 3P_1 - 3P_2 + P_3, \quad b = 3P_0 - 6P_1 + 3P_2, \quad c = 3(P_1 - P_0). \]

則 \(B(t) = a t^3 + b t^2 + c t + P_0\)。對每個座標 \(k\)，令 \(T_k\) 由 \(0\)、\(1\) 與下式在 \((0, 1)\) 內的根組成

\[ B'_k (t) = 3a_k t^2 + 2 b_k t + c_k \]

（此多項式不恆為零時）；若它恆為零，則 \(T_k = \lbrace 0, 1\rbrace\)。於是 \(B([0, 1])\) 的邊界框座標為

\[ \alpha_k = \min_{t \in T_k} B_k (t), \quad \beta_k = \max_{t \in T_k} B_k (t). \]
CubicBezierSegment.bounding_box

回傳 (low, high) 兩點，分別為曲線在各軸的最小值與最大值，由三次曲線的邊界框的候選參數求值而得。

三次曲線的緊密邊界框。

升階

升階（詳見升階）把 \(n\) 次曲線寫成參數化相同的 \(n + 1\) 次曲線。本套件用它把直線與二次曲線寫成三次曲線，使每個繪圖端都收到四個控制點。對升階套用一次或兩次，即得下列控制點。

命題 · 直線與二次曲線的三次表示

由 \(P_0\) 到 \(P_3\)、參數化為 \((1 - t) P_0 + t P_3\) 的直線，是控制點為

\[ P_0, \quad P_0 + 1/3 (P_3 - P_0), \quad P_0 + 2/3 (P_3 - P_0), \quad P_3 \]

的三次曲線。控制點為 \(P_0, C, P_3\) 的二次曲線，是控制點為

\[ P_0, \quad P_0 + 2/3 (C - P_0), \quad P_3 + 2/3 (C - P_3), \quad P_3 \]

的三次曲線。兩種情形下曲線與其參數化都不變。

to_cubic(curve)

位於 bezierkit.bezier。依直線與二次曲線的三次表示將一次、二次或三次 BezierCurve 轉為 CubicBezierSegment（傳入線段時原樣回傳）；更高次數拋出 DegreeError。

line_to_cubic(p0, p3)

由 p0 到 p3 的直線的三次表示。

quadratic_to_cubic(
    p0,
    control,
    p3
)

控制點如給定的二次曲線的三次表示。

from bezierkit.bezier import to_cubic

q = BezierCurve.quadratic(Point(0, 0), Point(3, 6), Point(9, 0))
print(to_cubic(q).control_points)
# (Point(coords=(0.0, 0.0)), Point(coords=(2.0, 4.0)),
#  Point(coords=(5.0, 4.0)), Point(coords=(9.0, 0.0)))

分段路徑

PiecewiseBezier(
    segments,
    *,
    closed=False,
    continuity_tolerance=1e-9
)
PiecewiseBezier.compound(paths)
segments

依序排列的線段。

control_points

其控制點。

subpaths

各 BezierSubpath。

at(t)

依均勻參數化求值。

at_many(values)

在多個參數上求值。

split(t)

在 t 分割路徑；參數落在某段內時會分割該段（詳見分割）。

segment(t0, t1)

保留兩個參數之間的部分。

reversed()

反轉線段順序與每一段。

closed

封閉旗標。

is_compound

是否含多條子路徑。

dimension

維度 \(d\)。

由三次線段組成的路徑。相鄰線段必須相接：每段的 p3 與下一段的 p0 距離不得超過 continuity_tolerance，封閉路徑最後的 p3 與第一個 p0 亦然，否則拋出 ValueError。closed 是給匯出器的資訊（SVG 的 Z、TikZ 的 cycle），不會額外加入封閉線段。

本套件以均勻方式將路徑參數化。這是本套件的約定，並非通用概念：由 \(m\) 段 \(S_0, \ldots, S_{m-1}\) 組成的路徑是映射

\[ P(t) = S_k (m t - k), \quad k = \min(\left\lfloor m t \right\rfloor, m - 1), \quad t \in [0, 1]. \]

不論長短，每段都占 \([0, 1]\) 的 \(1 / m\)。

from bezierkit import CubicBezierSegment, PiecewiseBezier

path = PiecewiseBezier(
    [
        CubicBezierSegment.from_line(Point(0, 0), Point(2, 0)),
        CubicBezierSegment.from_line(Point(2, 0), Point(2, 4)),
    ]
)
# Point(coords=(2.0, 2.0))
print(path.at(0.75))
# Point(coords=(2.0, 2.0))
print(path.segment(0.25, 0.75).at(1.0))

compound() 把多條路徑合為一條，各子路徑保持分開，例如有洞的形狀。複合路徑沒有單一的參數化：求值、分割或截取會拋出 ValueError；反轉與匯出則可正常使用。分割或截取封閉路徑也會拋出例外（整條路徑或單點除外），因為封閉路徑沒有可保留的起點與終點。

連續性

兩條曲線在接點相接。設 \(h_S, h_T > 0\)，\(S : [u_0 - h_S, u_0] \to \mathbb{R}^d\) 與 \(T : [u_0, u_0 + h_T] \to \mathbb{R}^d\) 具有所需階數的連續導數（區間端點取單邊導數），\(C\) 為在前一區間等於 \(S\)、在後一區間等於 \(T\) 的曲線。

定義 · 參數連續性

對 \(k \ge 0\)，若 \(S^{(j)}(u_0) = T^{(j)}(u_0)\) 對 \(j = 0, \ldots, k\) 成立，稱曲線 \(C\) 在 \(u_0\) 為 \(C^k\)。

定義 · 幾何連續性 \(G^1\)

若 \(S(u_0) = T(u_0)\)，切向量 \(S'(u_0)\) 與 \(T'(u_0)\) 皆非零，且存在 \(\lambda > 0\) 使 \(T'(u_0) = \lambda S'(u_0)\)，稱曲線 \(C\) 在 \(u_0\) 為 \(G^1\)；也就是兩側的單位切向量相同。

參數連續性與幾何連續性是連接曲線的標準概念 Farin (2002)Prautzsch (2002)；任意階 \(k\) 的幾何連續性見 Barsky (1989)。本手冊只用到 \(C^0\)、\(C^1\) 與 \(G^1\)。切向量非零的 \(C^1\) 接點必為 \(G^1\)。

命題 · 三次曲線接點的連續性

設 \(S\)、\(T\) 是控制點分別為 \(P_0, \ldots, P_3\) 與 \(Q_0, \ldots, Q_3\) 的三次曲線，並分別在 \((u - u_0 + h_S) / h_S\) 與 \((u - u_0) / h_T\) 求值。 + \(C\) 在 \(u_0\) 為 \(C^0\)，若且唯若 \(P_3 = Q_0\)。 + 若 \(P_3 = Q_0\)，則 \(C\) 在 \(u_0\) 為 \(C^1\)，若且唯若

\[ (P_3 - P_2) / h_S = (Q_1 - Q_0) / h_T. \]
  • 若 \(P_3 = Q_0\)、\(P_3 \ne P_2\) 且 \(Q_1 \ne Q_0\)，則 \(C\) 在 \(u_0\) 為 \(G^1\)，若且唯若存在 \(\mu > 0\) 使 \(Q_1 - Q_0 = \mu (P_3 - P_2)\)。
  • 在 PiecewiseBezier 的均勻參數化下 \(h_S = h_T\)，因此第 2 項的條件即為 \(P_3 - P_2 = Q_1 - Q_0\)。

PiecewiseBezier 只要求 \(C^0\)，也就是端點相接。接點是否也要平滑由呼叫端決定：無異曲線的折角或折線的轉角本來就該保留。

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