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三次线段与路径

绘图端画的是三次曲线：TikZ 的 .. controls ..、SVG 的 C 与 Matplotlib 的 CURVE4 都接收四个控制点。CubicBezierSegment 就是以数值对象表示的三次曲线，PiecewiseBezier 则把三次曲线连接成路径。

三次线段

CubicBezierSegment(
    p0,
    p1,
    p2,
    p3,
    *,
    fit_error=None
)
fit_errorfloat | None默认值： None

拟合线段的实测误差（详见拟合）；分割、截取与反转后保留，判断相等时忽略。

as_curve()

转为 3 次 BezierCurve，不改变任何控制点。

from_curve(curve)

由 3 次 BezierCurve 转换，不改变任何控制点。

from_line()

直线的精确三次表示（详见直线与二次曲线的三次表示）。

from_quadratic()

二次曲线的精确三次表示（详见直线与二次曲线的三次表示）。

不可变的三次曲线，四个控制点即字段 p0、p1、p2、p3（亦可用 control_points 或逐一取出）。求值、微分、分割、截取与反转的方式与 BezierCurve 相同，但 split()、segment() 与 reversed() 仍回传三次线段。segment(t, t) 回传四个控制点都是 \(B(t)\) 的退化三次曲线。

紧密边界框

定义 · 轴对齐边界框

非空有界集合 \(K \subset \mathbb{R}^d\) 的轴对齐边界框，是包含 \(K\) 的最小方框

\[ [\alpha_1, \beta_1] \times \ldots \times [\alpha_d, \beta_d], \]

其中 \(\alpha_k = \inf \lbrace x_k : x \in K\rbrace\)、\(\beta_k = \sup \lbrace x_k : x \in K\rbrace\)。

控制点凸包包含曲线（详见凸包），但可能比曲线大得多。bounding_box 回传曲线本身的轴对齐边界框所定义的方框（参见三次曲线的紧密边界框。），其候选点来自各坐标导数的根。

命题 · 三次曲线的边界框

设 \(B\) 是控制点为 \(P_0, \ldots, P_3 \in \mathbb{R}^d\) 的三次曲线，令

\[ a = -P_0 + 3P_1 - 3P_2 + P_3, \quad b = 3P_0 - 6P_1 + 3P_2, \quad c = 3(P_1 - P_0). \]

则 \(B(t) = a t^3 + b t^2 + c t + P_0\)。对每个坐标 \(k\)，令 \(T_k\) 由 \(0\)、\(1\) 与下式在 \((0, 1)\) 内的根组成

\[ B'_k (t) = 3a_k t^2 + 2 b_k t + c_k \]

（此多项式不恒为零时）；若它恒为零，则 \(T_k = \lbrace 0, 1\rbrace\)。于是 \(B([0, 1])\) 的边界框坐标为

\[ \alpha_k = \min_{t \in T_k} B_k (t), \quad \beta_k = \max_{t \in T_k} B_k (t). \]
CubicBezierSegment.bounding_box

回传 (low, high) 两点，分别为曲线在各轴的最小值与最大值，由三次曲线的边界框的候选参数求值而得。

三次曲线的紧密边界框。

升阶

升阶（详见升阶）把 \(n\) 次曲线写成参数化相同的 \(n + 1\) 次曲线。本套件用它把直线与二次曲线写成三次曲线，使每个绘图端都收到四个控制点。对升阶套用一次或两次，即得下列控制点。

命题 · 直线与二次曲线的三次表示

由 \(P_0\) 到 \(P_3\)、参数化为 \((1 - t) P_0 + t P_3\) 的直线，是控制点为

\[ P_0, \quad P_0 + 1/3 (P_3 - P_0), \quad P_0 + 2/3 (P_3 - P_0), \quad P_3 \]

的三次曲线。控制点为 \(P_0, C, P_3\) 的二次曲线，是控制点为

\[ P_0, \quad P_0 + 2/3 (C - P_0), \quad P_3 + 2/3 (C - P_3), \quad P_3 \]

的三次曲线。两种情形下曲线与其参数化都不变。

to_cubic(curve)

位于 bezierkit.bezier。依直线与二次曲线的三次表示将一次、二次或三次 BezierCurve 转为 CubicBezierSegment（传入线段时原样回传）；更高次数抛出 DegreeError。

line_to_cubic(p0, p3)

由 p0 到 p3 的直线的三次表示。

quadratic_to_cubic(
    p0,
    control,
    p3
)

控制点如给定的二次曲线的三次表示。

from bezierkit.bezier import to_cubic

q = BezierCurve.quadratic(Point(0, 0), Point(3, 6), Point(9, 0))
print(to_cubic(q).control_points)
# (Point(coords=(0.0, 0.0)), Point(coords=(2.0, 4.0)),
#  Point(coords=(5.0, 4.0)), Point(coords=(9.0, 0.0)))

分段路径

PiecewiseBezier(
    segments,
    *,
    closed=False,
    continuity_tolerance=1e-9
)
PiecewiseBezier.compound(paths)
segments

依序排列的线段。

control_points

其控制点。

subpaths

各 BezierSubpath。

at(t)

依均匀参数化求值。

at_many(values)

在多个参数上求值。

split(t)

在 t 分割路径；参数落在某段内时会分割该段（详见分割）。

segment(t0, t1)

保留两个参数之间的部分。

reversed()

反转线段顺序与每一段。

closed

封闭旗标。

is_compound

是否含多条子路径。

dimension

维度 \(d\)。

由三次线段组成的路径。相邻线段必须相接：每段的 p3 与下一段的 p0 距离不得超过 continuity_tolerance，封闭路径最后的 p3 与第一个 p0 亦然，否则抛出 ValueError。closed 是给导出器的信息（SVG 的 Z、TikZ 的 cycle），不会额外加入封闭线段。

本套件以均匀方式将路径参数化。这是本套件的约定，并非通用概念：由 \(m\) 段 \(S_0, \ldots, S_{m-1}\) 组成的路径是映射

\[ P(t) = S_k (m t - k), \quad k = \min(\left\lfloor m t \right\rfloor, m - 1), \quad t \in [0, 1]. \]

不论长短，每段都占 \([0, 1]\) 的 \(1 / m\)。

from bezierkit import CubicBezierSegment, PiecewiseBezier

path = PiecewiseBezier(
    [
        CubicBezierSegment.from_line(Point(0, 0), Point(2, 0)),
        CubicBezierSegment.from_line(Point(2, 0), Point(2, 4)),
    ]
)
# Point(coords=(2.0, 2.0))
print(path.at(0.75))
# Point(coords=(2.0, 2.0))
print(path.segment(0.25, 0.75).at(1.0))

compound() 把多条路径合为一条，各子路径保持分开，例如有洞的形状。复合路径没有单一的参数化：求值、分割或截取会抛出 ValueError；反转与导出则可正常使用。分割或截取封闭路径也会抛出异常（整条路径或单点除外），因为封闭路径没有可保留的起点与终点。

连续性

两条曲线在接点相接。设 \(h_S, h_T > 0\)，\(S : [u_0 - h_S, u_0] \to \mathbb{R}^d\) 与 \(T : [u_0, u_0 + h_T] \to \mathbb{R}^d\) 具有所需阶数的连续导数（区间端点取单边导数），\(C\) 为在前一区间等于 \(S\)、在后一区间等于 \(T\) 的曲线。

定义 · 参数连续性

对 \(k \ge 0\)，若 \(S^{(j)}(u_0) = T^{(j)}(u_0)\) 对 \(j = 0, \ldots, k\) 成立，称曲线 \(C\) 在 \(u_0\) 为 \(C^k\)。

定义 · 几何连续性 \(G^1\)

若 \(S(u_0) = T(u_0)\)，切矢量 \(S'(u_0)\) 与 \(T'(u_0)\) 皆非零，且存在 \(\lambda > 0\) 使 \(T'(u_0) = \lambda S'(u_0)\)，称曲线 \(C\) 在 \(u_0\) 为 \(G^1\)；也就是两侧的单位切矢量相同。

参数连续性与几何连续性是连接曲线的标准概念 Farin (2002)Prautzsch (2002)；任意阶 \(k\) 的几何连续性见 Barsky (1989)。本手册只用到 \(C^0\)、\(C^1\) 与 \(G^1\)。切矢量非零的 \(C^1\) 接点必为 \(G^1\)。

命题 · 三次曲线接点的连续性

设 \(S\)、\(T\) 是控制点分别为 \(P_0, \ldots, P_3\) 与 \(Q_0, \ldots, Q_3\) 的三次曲线，并分别在 \((u - u_0 + h_S) / h_S\) 与 \((u - u_0) / h_T\) 求值。 + \(C\) 在 \(u_0\) 为 \(C^0\)，若且唯若 \(P_3 = Q_0\)。 + 若 \(P_3 = Q_0\)，则 \(C\) 在 \(u_0\) 为 \(C^1\)，若且唯若

\[ (P_3 - P_2) / h_S = (Q_1 - Q_0) / h_T. \]
  • 若 \(P_3 = Q_0\)、\(P_3 \ne P_2\) 且 \(Q_1 \ne Q_0\)，则 \(C\) 在 \(u_0\) 为 \(G^1\)，若且唯若存在 \(\mu > 0\) 使 \(Q_1 - Q_0 = \mu (P_3 - P_2)\)。
  • 在 PiecewiseBezier 的均匀参数化下 \(h_S = h_T\)，因此第 2 项的条件即为 \(P_3 - P_2 = Q_1 - Q_0\)。

PiecewiseBezier 只要求 \(C^0\)，也就是端点相接。接点是否也要平滑由调用端决定：无异曲线的折角或折线的转角本来就该保留。

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