等值線

無異曲線、等產量曲線與等高線，都是二元函數的等值集。

等值集與切線

定義 · 等值集

對 $F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 與水準 $c \in \mathbb{R}$，等值集為

\[ L_c = \lbrace (x, y) : F(x, y) = c\rbrace . \]

對連續可微的 $F$，以 $F_x$、$F_y$ 表示偏導數，$\nabla F = (F_x, F_y)$ 為梯度。在 $\nabla F \ne 0$ 的點附近，等值集是一條曲線，這由隱函數定理得出；以下引述所需的形式。

定理 · 隱函數定理

設 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 為開集，$F : \Omega \to \mathbb{R}$ 連續可微，$p \in \Omega$，$F(p) = c$ 且 $F_y (p) \ne 0$。則存在開區間 $I$、$J$ 滿足 $p_x \in I$、$p_y \in J$、$I \times J \subset \Omega$，以及連續可微的 $\phi : I \to J$、$\phi(p_x) = p_y$，使得對 $(x, y) \in I \times J$，

\[ F(x, y) = c \quad \text{若且唯若} \quad y = \phi(x). \]

此定理對任意個變數都成立，見 Rudin (1976) 的定理 9.28、Apostol (1974) 第二版的定理 13.7 與 Munkres (1991) 的定理 9.2。此處不予證明。

定理 · 等值集的切線

設 $F$ 在開集 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上連續可微，$p \in \Omega$，$F(p) = c$ 且 $\nabla F(p) \ne 0$。則存在 $p$ 的開鄰域 $N$ 與開區間 $I$ 上的連續可微曲線 $\gamma : I \to \mathbb{R}^2$，滿足 $\gamma(I) = L_c \cap N$、某個 $u_0 \in I$ 使 $\gamma(u_0) = p$、對所有 $u \in I$ 有 $\gamma'(u) \ne 0$，且 $\gamma'(u)$ 平行於 $\gamma(u)$ 處的 $(F_y, -F_x)$。向量 $(F_y, -F_x)$ 與 $\nabla F$ 正交。

切線 $(F_y, -F_x)$ 不需除法，因此垂直切線（$F_y = 0$）與其他情況一樣容易處理；圖形形式的斜率 $\mathrm{d} y / \mathrm{d} x = -F_x / F_y$ 在該處則為無窮大。

描繪

trace_implicit 不需解出 $y$ 就能把等值集轉為三次路徑，因此可以處理會折返、封閉或分成數段的曲線。

trace_implicit(
    function,
    *,
    levels,
    viewport,
    resolution=(101, 101),
    tolerance=1e-2,
    gradient=None
)

function

$F$，以兩個浮點數呼叫；在每個網格點都必須為有限值，否則拋出 ValueError。

levels

單一水準，或由有限水準值組成的可迭代物件。

resolution(int, int)預設值： (101, 101)

沿 $x$ 與 $y$ 的網格點數，各至少 2。

tolerancefloat預設值： 1e-2

簡化與彎曲線段的容許偏差，單位同座標。

gradientcallable | None預設值： None

$\nabla F = (F_x, F_y)$，以 tuple 或 Vector 回傳。提供時，直線段會彎成沿曲線切線方向的三次曲線。

在矩形 viewport $= (x_{\min}, x_{\max}, y_{\min}, y_{\max})$ 內，描繪每個水準 $c$ 的 $F(x, y) = c$，位於 bezierkit.implicit。

演算法是行進方格法，即 Lorensen (1987) 行進立方體法的二維類比。網格格子的角點為 $v_{00}, v_{10}, v_{11}, v_{01}$，由左下角起逆時針排列，$F$ 的值分別為 $f_{00}, f_{10}, f_{11}, f_{01}$。角點的值不小於水準 $c$ 時稱為高。

定義 · 邊上的交點

設網格的一條邊由 $p$ 到 $q$，且 $F(p) \ge c > F(q)$ 或 $F(q) \ge c > F(p)$。其交點為 $p + \lambda (q - p)$，其中

\[ \lambda = (c - F(p)) / (F(q) - F(p)), \]

即 $F - c$ 沿該邊的線性插值之零點。

一條邊有交點，若且唯若它的兩個角點高低不同。

取樣。在 viewport 的規則網格上計算 $F$。
行進。在每個網格格子中找出四條邊的交點（詳見邊上的交點）。有兩個交點的格子貢獻一條線段。有四個交點的格子是鞍點：兩個對角角點為高、另兩個為低，由下述規則決定如何連接（參見鞍點格子：(a) 中心高、(b) 中心低；實心角點的 $F \ge c$。）。
縫合。把端點相同的線段串成鏈。回到起點的鏈是封閉的；抵達 viewport 邊界或分支點的鏈是開放的。互不相連的部分保持為不同的路徑。
簡化。以 tolerance 對每條鏈呼叫 fit_polyline（詳見擬合），不保留轉角。
彎曲（提供 gradient 時）。把每條直線段換成端點切線沿等值集方向的三次曲線（詳見等值集的切線），控制柄長為弦長的三分之一。只有當三次曲線與弦的距離不超過 tolerance 時才採用；任一端 $\nabla F = 0$ 時維持直線。

$鞍點格子：(a) 中心高、(b) 中心低；實心角點的 $F \ge c$。$

鞍點規則使用四個角點值的雙線性插值

\[ u(s, t) = (1 - s)(1 - t) f_{00} + s (1 - t) f_{10} + s t f_{11} + (1 - s) t f_{01}, \quad (s, t) \in [0, 1]^2. \]

命題 · 雙線性插值的中心值

插值 $u$ 在角點取角點值，在格子中心的值等於四個角點值的平均：

\[ u(1/2, 1/2) = (f_{00} + f_{10} + f_{11} + f_{01}) / 4. \]

此平均值不小於 $c$ 時，套件將中心視為高。在鞍點格子中，與中心同側的兩個角點在格內相連，另外兩個角點各自被一條線段切開（參見鞍點格子：(a) 中心高、(b) 中心低；實心角點的 $F \ge c$。）。這就是中點決定法（midpoint decider）Athawale (2019)。Nielson (1991) 的漸近決定法（asymptotic decider）則比較 $u$ 在其鞍點的值

\[ u^* = (f_{00} f_{11} - f_{10} f_{01}) / (f_{00} - f_{10} - f_{01} + f_{11}), \]

兩種規則只在 $u^*$ 與平均值落在 $c$ 兩側時才不同。

from bezierkit.implicit import trace_implicit

contours = trace_implicit(
    lambda x, y: x**2 * y,
    levels=[1, 2, 4],
    viewport=(0.5, 4, 0, 6),
    resolution=(121, 121),
    tolerance=0.01,
    gradient=lambda x, y: (2 * x * y, x**2),
)
# (1.0, 2.0, 4.0)
print(contours.level_values)
# 15
print(len(contours.for_level(4)[0].segments))

$$x^2 y = c$，$c = 1, 2, 4$ 由內而外。$

結果

ContourSet

trace_implicit 回傳 ContourSet，其 contours 依給定順序為每個水準保存一個 LevelContours。level_values 列出各水準，paths 匯集所有路徑，for_level(c) 回傳某一水準的路徑（未描繪的水準拋出 KeyError）。

LevelContours

水準值 level 與路徑 paths，每個連通部分一條 PiecewiseBezier。

限制

描繪出的曲線只在網格交點上精確；交點之間是行進方格法得到的折線，再於 tolerance 內簡化與彎曲。需要更貼近時，請提高 resolution 並降低 tolerance。比網格格子小的特徵可能遺漏，鞍點規則也只會選擇兩種可能連接方式之一。Leontief 無異曲線的折角等尖點會在網格間距內被圓滑化，因為網格看不到精確的轉角。

等值線

等值集與切線

描繪

結果

限制

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