導數、反轉與分割

每項運算只作用於控制點，並回傳沿用原曲線求值策略的新曲線。

導數

Bézier 曲線的導數 $B'(t)$ 是其座標函數（$t$ 的多項式）的導數，為 $\mathbb{R}^d$ 中的向量。

引理 · Bernstein 多項式的導數

對 $n \ge 1$ 與每個整數 $i$，

\[ b'_{i,n}(t) = n [b_{i-1,n-1}(t) - b_{i,n-1}(t)]. \]

此為 Floater (2025) 的引理 1.4。

定理 · 速端曲線

$n$ 次 Bézier 曲線（$n \ge 1$）的導數是 $n - 1$ 次 Bézier 曲線

\[ B'(t) = \sum_{i=0}^{n-1} b_{i,n-1}(t) \cdot n (P_{i+1} - P_i). \]

控制點為 $n(P_{i+1} - P_i)$ 的曲線稱為 $B$ 的速端曲線（Floater (2025) 的定理 1.8；另見 Farin (2002)）。

推論 · 端點切線

$B'(0) = n(P_1 - P_0)$，$B'(1) = n(P_n - P_{n-1})$。

這說明了曲線為何朝 $P_1$ 的方向離開 $P_0$，並從 $P_{n-1}$ 的方向抵達 $P_n$。

BezierCurve.derivative(order=1)

以 BezierCurve 回傳 order 階導數，即套用速端曲線 order 次。常數（0 次）的導數是 0 次的零曲線；order=0 回傳曲線本身。

d = curve.derivative()
print(list(d.control_points))
# [Point(coords=(3.0, 6.0)), Point(coords=(6.0, 0.0)), Point(coords=(3.0, -6.0))]
# Point(coords=(4.5, 0.0)): the tangent at the top is horizontal
print(d.at(0.5))

反轉

引理 · 對稱性

對所有 $i$ 與 $t$，$b_{i,n}(1 - t) = b_{n-i,n}(t)$。

命題 · 反轉

控制點為 $P_n, \ldots, P_0$ 的曲線就是 $t |\to B(1 - t)$。

BezierCurve.reversed

依反轉，回傳反向走訪的曲線。

分割

在 $t = c$ 執行 de Casteljau 演算法不只得到曲線值：每一輪的第一個點構成 $c$ 之前那段曲線的控制多邊形，最後一個點構成 $c$ 之後那段的控制多邊形（參見在 $t = 0.4$ 分割三次曲線。）。

定理 · 分割

令 $c \in [0, 1]$，並在 $t = c$ 計算de Casteljau 點的各點。令 $L_j = P_0^{(j)}$、$R_j = P_j^{(n-j)}$，$j = 0, \ldots, n$。則對每個 $s \in [0, 1]$

\[ B(c s) = \sum_{j=0}^n b_{j,n}(s) L_j \]

且

\[ B(c + (1 - c) s) = \sum_{j=0}^n b_{j,n}(s) R_j. \]

這是經典結果，見 Floater (2025)（第 8.4 節，由 blossom 導出）與 Farin (2002)。

$在 $t = 0.4$ 分割三次曲線。$

BezierCurve.split(float)
BezierCurve.segment(t0, t1)

split(c) 回傳分割的兩條曲線，次數不變，參數範圍都是 $[0, 1]$。segment(t0, t1) 回傳曲線在 $t_0$ 與 $t_1$ 之間的部分，重新參數化到 $[0, 1]$；$t_0 = t_1$ 時回傳單點 $B(t_0)$，即 0 次曲線。參數超出 $[0, 1]$ 或 $t_0 > t_1$ 時拋出例外。

segment() 分割兩次：先在 $t_1$ 分割並保留左段，再在 $t_0 / t_1$ 分割該段並保留右段。

推論 · 截取

對 $0 \le t_0 < t_1 \le 1$，segment(t0, t1) 回傳的曲線為 $s |\to B(t_0 + (t_1 - t_0) s)$。

left, right = curve.split(0.4)
# both B(0.4) = (1.552, 1.44)
print(left.at(1.0), right.at(0.0))
# B(0.5) = (2.0, 1.5)
print(curve.segment(0.25, 0.75).at(0.5))

導數、反轉與分割

導數

反轉

分割

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