證明
本附錄依各章出現的順序，證明其中的引理、命題、定理與推論。以下假設精確算術。程式以浮點數計算相同的量，因此若某配置與退化情形的差異僅在捨入誤差範圍內（例如點落在邊上，或三點幾乎共線），程式可能將它判定為任一種結果。平面向量 \(u, v\) 的外積記為 \(u \times v = u_x v_y - u_y v_x\)。
排列與軌道
證明
變數代換。令 \(o_k = \sum_{j < k} (s_j + g) + s_k / 2\)、\(y_k = x_k - o_k\)、\(z_k = c_k - o_k\)。由於 \(o_{k+1} - o_k = (s_k + s_{k+1}) / 2 + g\)，保序排列的限制條件即 \(y_1 \le \cdots \le y_n\)，目標函數為 \(\sum_k (y_k - z_k)^2\)。因此問題是在最小平方意義下，找出最接近 \(z\) 的非遞減向量。
程式的計算。考慮從第 \(i\) 項開始、起點為 \(S_B\) 的連續項目群 \(B\)。對於 \(k \in B\)，程式將它放在
其中 \(O_i = \sum_{l < i} (s_l + g)\)。因此 \(y_k = S_B - O_i =: Y_B\) 在 \(B\) 上為常數。程式取 \(S_B\) 為 \(c_k - (o_k - O_i)\) 的平均，使 \(Y_B\) 成為 \(z_k\) 在 \(B\) 上的平均；新加入的單一項目則有 \(Y = z_k\)。群 \(A\) 與後續群 \(B\) 在 \(S_A + \text{length}(A) + g \le S_B\) 時保持分開。由於 \(\text{length}(A) + g = O_{i_B} - O_{i_A}\)，此條件等價於 \(Y_A \le Y_B\)。因此，程式實作的就是 PAVA：把 \(z_k\) 加入為一個區塊；只要最後兩個區塊的平均遞減，就以它們的聯集（取其平均）取代。
不變式。 (a) 相鄰區塊的平均非遞減：最後一對順序正確時合併即停止，較早的區塊對不受影響。(b) 在平均為 \(\mu_B\) 的每個區塊 \(B\) 中，每個起始片段的平均至少為 \(\mu_B\)。單一項目滿足 (b)。\(A\) 與 \(B\) 合併時 \(\mu_A > \mu_B\)，合併後的平均 \(\mu\) 嚴格介於兩者之間。\(A\) 內的起始片段平均至少為 \(\mu_A > \mu\)。其他起始片段是 \(A\) 接上 \(B\) 的起始片段 \(B'\)；若 \(B'\) 為整個 \(B\)，其平均為 \(\mu\)；否則 \(B\) 的其餘部分 \(B''\) 由 \(B\) 的 (b) 知平均至多 \(\mu_B < \mu\)，而該片段是平均為 \(\mu\) 的集合中 \(B''\) 的補集，平均至少為 \(\mu\)。
最佳性。目標函數嚴格凸、限制條件 \(y_k - y_{k+1} \le 0\) 為線性，因此滿足 Karush–Kuhn–Tucker 條件的點即唯一的最小解 Boyd (2004)。對 \(k = 0, \ldots, n\) 令 \(\lambda_k = 2 \sum_{l \le k} (z_l - y_l)\)。平穩條件 \(2 (y_k - z_k) + \lambda_k - \lambda_{k-1} = 0\) 依構造成立。區塊內的偏差 \(z_l - Y_B\) 總和為零，因此 \(\lambda\) 在每個區塊末端為零，包括 \(\lambda_n = 0\)。在由第 \(i\) 項起的區塊內，由 (b) 得 \(\lambda_k = 2 \sum_{l=i}^k (z_l - Y_B) \ge 0\)。最後，\(\lambda_k > 0\) 只發生在 \(k\) 與 \(k + 1\) 屬於同一區塊時，此時 \(y_k = y_{k+1}\)，限制條件取等號。加上 (a) 給出的可行性，所有條件都成立。
證明
(i) 依排序後的順序編號，並設 \(i < j\)。把第 \(i\) 到第 \(j - 1\) 條限制相加，得
因為每項都非負，且首末兩項分別貢獻 \(s_i / 2\) 與 \(s_j / 2\)。(ii) 若 \(c\) 是排列，它使目標函數為 \(0\)，因此是分散為最佳解的唯一最小解。(iii) 沿用該證明的記號，
證明
區間只在與某軌道上所有區間都不衝突時才加入該軌道，之後不再移動，因此結果是軌道指派。任何軌道指派都必須把 \(\omega\) 個兩兩衝突的區間放在 \(\omega\) 條不同軌道，所以至少需要 \(\omega\) 條軌道。
反過來，記 \(J = [a_J, b_J]\)，並設區間依 \(a\) 遞增的順序給出。由衝突區間，\(I\) 與 \(J\) 衝突恰好等價於半開區間 \([a_I, b_I + g)\) 與 \([a_J, b_J + g)\) 相交。設 \(I\) 被放在所用的最高軌道 \(k\)。\(I\) 到來時，每條軌道 \(j < k\) 上都有與 \(I\) 衝突的區間 \(J_j\)。每個 \(J_j\) 較早到來，故 \(a_{J_j} \le a_I\)；又與 \(I\) 衝突，故 \(b_{J_j} + g > a_I\)。因此每個 \([a_{J_j}, b_{J_j} + g)\) 都含 \(a_I\)，而 \(b_I - a_I + g > 0\) 使 \([a_I, b_I + g)\) 也含 \(a_I\)。有共同點的半開區間兩兩相交，所以 \(J_0, \ldots, J_{k-1}, I\) 是 \(k + 1\) 個兩兩衝突的區間，\(k + 1 \le \omega\)。
矩形、線段與多邊形
證明
\(|q - p|^2 = (q_x - p_x)^2 + (q_y - p_y)^2\)，而 \(R\) 是 \([x_0, x_1]\) 與 \([y_0, y_1]\) 的乘積，因此兩個座標可分別最小化。在區間上，\(t |\to (t - p_x)^2\) 嚴格凸，無限制的最小值在 \(p_x\)，所以它在 \([x_0, x_1]\) 上的最小值只在 \(\min(\max(p_x, x_0), x_1)\) 取得；\(y\) 亦同。
證明
將其他列減去第一列，得
列的循環置換為偶置換，交換兩列為奇置換，由此得到對稱性。又
其中 \(\theta\) 為從 \(b - a\) 到 \(c - a\) 的有號角；它為正恰好在 \(\theta \in (0, \pi)\)，即 \(c\) 位於有向直線左側時，位於右側時為負，而在兩向量平行或其一為零，即三點共線時為零。
證明
先說明：若 \(\text{orient}(c, d, p) = 0\) 且 \(p\) 位於 \([c, d]\) 的外接矩形內，則 \(p \in [c, d]\)。事實上，若 \(c = d\)，外接矩形就是點 \(c\)；否則由共線性，對某實數 \(t\) 有 \(p = c + t (d - c)\)，而在 \(d - c\) 不為零的座標上，外接矩形條件迫使 \(t \in [0, 1]\)。
充分性。設 \(d_1 d_2 < 0\) 且 \(d_3 d_4 < 0\)。\(\text{orient}(c, d, \cdot)\) 沿 \([a, b]\) 為仿射函數且變號，因此 \([a, b]\) 與直線 \(L_{c d}\) 交於一點；同理 \([c, d]\) 與 \(L_{a b}\) 交於一點。由於 \(a\)、\(b\) 位於 \(L_{c d}\) 兩側，兩直線不平行，恰有一個共同點 \(z\)；兩個交點都等於 \(z\)，因此 \(z\) 同時位於兩線段上。另一種情形是某個 \(d_i = 0\) 且其端點位於另一線段的外接矩形內，由上述說明，該端點位於另一線段上。
必要性。設 \(z\) 為共同點。若 \(d_1 d_2 > 0\)，則 \(a\)、\(b\) 嚴格位於 \(L_{c d}\) 的同一側，整個 \([a, b]\) 亦然，與 \(z \in L_{c d}\) 矛盾；所以 \(d_1 d_2 \le 0\)，同理 \(d_3 d_4 \le 0\)。若兩者皆為負則得證。否則某個 \(d_i\) 為零；不妨設 \(d_1 = 0\)，其餘情形對稱。若 \(d_2 \ne 0\)，\([a, b]\) 只在 \(a\) 與 \(L_{c d}\) 相交，故 \(z = a\) 且 \(a \in [c, d]\)：\(d_1\) 的測試成立。若 \(d_2 = 0\)，四點共線，兩線段是同一直線上重疊的區間，其中一條的端點位於另一條內，因此四個測試之一成立。
證明
\(R\) 的邊都在 \(R\) 內，因此任一測試成立都給出共同點（參見線段相交）。反之，設 \([a, b]\) 與 \(R\) 相交但兩端點都不在 \(R\) 內。線段是連通的，同時含有 \(R\) 內與 \(R\) 外的點，因此與 \(R\) 的邊界相交，而邊界是四條邊的聯集；線段相交會偵測到該邊。
證明
\(t |\to |a + t (b - a) - p|^2\) 是凸二次函數，無限制的最小值在 \((p - a) \cdot (b - a) / |b - a|^2\)；如矩形上的最近點的證明，它在 \([0, 1]\) 上的最小值位於該值的截斷處。
證明
記 \(p = (x, y)\)，取 \(\epsilon > 0\) 小於所有頂點高度與 \(y\) 的正差值 \(|y_i - y|\)，且小到使 \(p_\epsilon = (x, y + \epsilon)\) 與 \(p\) 位於 \(\mathbb{R}^2 \setminus \partial P\) 的同一連通分量（因 \(p \notin \partial P\) 且各分量為開集，此為可行）。直線 \(Y = y + \epsilon\) 上沒有頂點，且對每個頂點，\(y_i > y\) 若且唯若 \(y_i > y + \epsilon\)。因此一條邊通過程式的高度測試，恰好等價於它穿過直線 \(Y = y + \epsilon\)，交點橫座標為
程式比較的是 \(x\) 與 \(X_0\)。若 \(x = X_0\)，由於高度測試使 \(y\) 介於兩端點高度之間，點 \((X_0, y)\) 位於該邊上，即 \(p \in \partial P\)，與假設矛盾；所以 \(x \ne X_0\)，由連續性，對夠小的 \(\epsilon\)，\(x < X_0\) 若且唯若 \(x < X_\epsilon\)。因此程式計算的正是從 \(p_\epsilon\) 向右、不經過任何頂點的射線所穿過的邊。每次穿越都使射線在內部與外部之間切換，而射線在最右方位於外部，所以計數為奇數恰好在 \(p_\epsilon \in \text{int} P\)，即 \(p \in \text{int} P\) 時 Haines (1994)。
證明
若 \(R \subset \text{int} P\)，則 \(R\) 與 \(\partial P\) 不相交，因此沒有邊碰到它（參見線段與矩形），而它的角位於 \(\text{int} P\) 且不在邊界上，因此通過奇偶測試（參見奇偶規則）。反之，若沒有邊碰到 \(R\)，則 \(R \cap \partial P = \emptyset\)（參見線段與矩形）；特別是各角不在邊界上，通過測試即表示它們位於 \(\text{int} P\)。\(R\) 是連通的且與 \(\partial P\) 不相交，因此位於 \(\mathbb{R}^2 \setminus \partial P\) 的一個分量內；它含有一個位於 \(\text{int} P\) 的角，所以 \(R \subset \text{int} P\)。
證明
若有一個角通過測試，它不在邊界上時位於 \(\text{int} P\)（參見奇偶規則），否則位於 \(\partial P\)；無論哪種情形都有 \(R \cap \overline{P} \ne \emptyset\)。若有一條邊碰到 \(R\)，則 \(R\) 與 \(\partial P\) 相交。反之，設 \(R\) 與 \(\overline{P}\) 相交。若它與 \(\partial P\) 相交，就有某條邊碰到它。否則 \(R\) 與 \(\partial P\) 不相交而與 \(\text{int} P\) 相交；由連通性得 \(R \subset \text{int} P\)，其各角通過測試。
證明
設對某個 \(t > T\)，\(p = o + t r \in \partial P\)，位於邊 \(e\) 上。若 \(e\) 不平行於 \(r\)，程式對 \(e\) 解 \(o + t r = a + u (b - a)\)，得到這個 \(t \ge 0\) 與 \(u \in [0, 1]\)，因此 \(T \ge t\)，矛盾。若 \(e\) 平行於 \(r\)，它位於射線所在直線 \(\ell\) 上。取包含 \(e\)、位於 \(\ell\) 上的極大連續邊段。它不是整個 \(P\)（\(P\) 的頂點不全共線），所以邊段兩端都是與某條不在 \(\ell\) 上、因而不平行於 \(r\) 的邊共用的頂點。邊段中相鄰的邊不會折返，因為從同一頂點沿 \(\ell\) 同向出發的兩條邊會重疊，與 \(P\) 為簡單多邊形矛盾；因此邊段是 \(\ell\) 上的一段，其在 \(r\) 方向的遠端是端點頂點 \(v = o + t_v r\)，且 \(t_v \ge t > T\)。相鄰的不平行邊含有 \(v\)（\(u \in \lbrace 0, 1\rbrace\)），因此 \(T \ge t_v\)，同樣矛盾。所以 \(\lbrace o + t r : t > T\rbrace\) 與 \(\partial P\) 不相交；它連通且無界，因此位於外部。
不可及極點
證明
對任意集合 \(S\)，由三角不等式得 \(|d(p, S) - d(q, S)| \le |p - q|\)，這就處理了 \(p\)、\(q\) 在同一側的情形。設 \(p \in \overline{P}\)、\(q \notin \overline{P}\)，並令 \(z\) 為從 \(p\) 到 \(q\) 的線段上，屬於 \(\overline{P}\) 的最後一點（\(\overline{P}\) 為閉集，故存在）。緊接在 \(z\) 之後的點都在外面，因此 \(z \notin \text{int} P\)，即 \(z \in \partial P\)。於是
證明
程式精確計算 \(f\)：不在邊界上時，由奇偶規則符號正確；在邊界上時距離為 \(0\)。記 \(b\) 為目前的最佳值；它只會增加，且始終是某個已求值中心的 \(f\) 值。
結束性。每次分割使半邊長 \(h\) 減半。取出 \(h \sqrt{2} \le \epsilon\) 的格子時，更新後 \(b \ge f(c)\)，因此其上界至多比 \(b\) 多 \(h \sqrt{2} \le \epsilon\)，格子被捨棄而不分割。所以格子構成有限樹，每格各推入與取出一次。
不變式。外接矩形的每一點都位於某格的閉正方形內，該格要不在佇列中，要不在被捨棄當時滿足 \(f(c) + h \sqrt{2} \le b + \epsilon\)。初始正方形從左下角起以短邊為步長鋪設，直到越過遠端邊緣，覆蓋了外接矩形；捨棄依捨棄規則保持不變式；分割把一個正方形換成覆蓋它的四個正方形。
結論。結束時佇列為空。設 \(p^*\) 為極點；它位於 \(\overline{P}\) 中、外接矩形內，落在某個被捨棄、中心為 \(c\)、半邊長為 \(h\) 的格子內。由有號距離為 1-Lipschitz與 \(|p^* - c| \le h \sqrt{2}\)，
其中 \(q\) 為回傳的點，\(f(q)\) 為最終的 \(b\)。若 \(f^* > \epsilon\)，則 \(f(q) > 0\)，故 \(q\) 位於 \(\overline{P}\) 內且與 \(\partial P\) 距離為正，即 \(q \in \text{int} P\)。
證明
記半徑為 \(r\)，拉伸倍率為 \(\sigma = \delta / 2r \ge 1\)。拉伸之前，曲線由以下部分組成：圓心 \((0, \ell + r)\)、從 \(-90 degree\) 到 \(0 degree\) 的圓弧 \(A_1\)；從 \(v = \ell + r\) 到 \(v = m - r\) 的線段 \(u = r\)；圓心 \((2 r, m - r)\)、從 \(180 degree\) 到 \(90 degree\) 的圓弧 \(A_2\)；圓心 \((2 r, m + r)\)、從 \(270 degree\) 到 \(180 degree\) 的圓弧 \(A_3\)；從 \(m + r\) 到 \(h - r\) 的線段 \(u = r\)；以及圓心 \((0, h - r)\)、從 \(0 degree\) 到 \(90 degree\) 的圓弧 \(A_4\)。（當 \(r = (h - \ell) / 4\) 時兩線段長度為零。）曲線起於 \((0, \ell)\)、終於 \((0, h)\)，\(A_2\) 與 \(A_3\) 交於 \((2 r, m)\)，拉伸 \((u, v) |\to (\sigma u, v)\) 把它送到 \((\delta, m)\)。
(i) 在 \(A_1\) 與 \(A_4\) 上 \(u \in [0, r]\)；在兩線段上 \(u = r\)；在 \(A_2\) 與 \(A_3\) 上 \(u \in [r, 2 r]\)。拉伸後 \(u \in [0, \delta]\)。
(ii) 反射 \(v |\to \ell + h - v\) 交換 \(A_1\) 與 \(A_4\)、\(A_2\) 與 \(A_3\) 的圓心，並把角度 \(\theta\) 變為 \(-\theta\)，因此把 \(A_1\) 映到 \(A_4\)、\(A_2\) 映到 \(A_3\)，兩線段互換。
(iii) 沿角度遞增方向走圓弧時，運動方向為 \((-\sin \theta, \cos \theta)\)；沿遞減方向時為 \((\sin \theta, -\cos \theta)\)。在 \(A_1\) 終點（\(\theta = 0\)）與 \(A_2\) 起點（\(\theta = 180 degree\)）兩者都是 \((0, 1)\)，即兩者間線段的方向；\(A_3\) 終點與 \(A_4\) 起點亦同。在尖端，\(A_2\) 以方向 \((1, 0)\) 抵達（\(\theta = 90 degree\)），\(A_3\) 以 \((-1, 0)\) 離開（\(\theta = 270 degree\)）：形成尖點。拉伸與最後的擺放都是可逆仿射映射，會帶著切線方向且保持其非零，因此連續性與尖點都得以保留。
標籤
證明
共同點滿足 \(a + t r = c + u s\)，其中 \(r = b - a\)、\(s = d - c\)。兩邊與 \(s\) 作外積可消去 \(u\)：\(t (r \times s) = (c - a) \times s\)。真正交叉使 \(a\)、\(b\) 嚴格位於 \(L_{c d}\) 兩側，因此兩直線不平行，\(r \times s \ne 0\)，交點唯一。由於 \(\text{orient}(c, d, \cdot)\) 沿 \([a, b]\) 為仿射函數且兩端異號，其零點位於某個 \(t \in (0, 1)\)。
證明
程式保留一個最佳候選，只在遇到鍵值嚴格較小的候選時才替換，因此在列舉的任何前段之後，它保存的是目前為止鍵值最小的第一個候選。近環結束後，若最小代價為 \(0\)，最小鍵值為 \((0, \ell_{\min})\)，搜尋停止：結果是引線最短的第一個零代價候選。否則以同一個最佳候選繼續列舉遠環，結果是兩環中鍵值最小的第一個候選。每個步驟都是引數（極點、離開距離、開闊區域、交叉點）的函數，沒有隨機性，列舉順序固定。
樣式、主題與綁定
證明
逐欄來看，合併是運算：\(x \ne \text{None}\) 時 \(x \circ y = x\)，否則為 \(y\)。\((x \circ y) \circ z\) 與 \(x \circ (y \circ z)\) 都等於 \(x, y, z\) 中第一個不是 None 的值（或 None），None 是雙邊單位元，且 \(x \circ x = x\)。樣式在各欄相等時相等，由此得 (i)–(iii)，再由歸納法得到第一個非 None 值的描述。樣式組逐槽同理，None 槽的行為如同空樣式。
證明
一對十六進位數字 \(k \in \lbrace 0, \ldots, 255\rbrace\) 讀為 \(k / 255\)，寫出時取 \(\text{round}(255 \cdot k / 255)\) 的兩位大寫數字。在倍精度下，計算出的乘積與 \(k\) 相差至多 \(255 \cdot 2^{-52} < 1 / 2\)，因此捨入為 \(k\)。include_alpha 為真，即九個字元的形式時，才寫出 alpha 那一對。三位數形式在讀取前先把每位數字重複一次。
證明
以 \(\triangleright\) 表示合併。解析從 \(D\) 開始，依 \(T\)、\(G\)、\(C\) 的順序，對每個對應依序把 \(M[k_n], \ldots, M[k_1]\)（由最一般到最具體）合併到結果之上，不存在的鍵給出空樣式組；最後合併圖層自帶的樣式組 \(E\)，它由 style_slots 指名的欄位構成。展開並以結合律（參見合併構成么半群）去掉括號，解析後的樣式組為
其各欄位為依此順序第一個不是 None 的值。之後綁定色盤只把顏色名稱換成顏色，不影響其他欄位。
證明
角色為 axes.note 的文字圖層，其鏈為（axes.note, axes, text），在解析順序的序列中 \(G[\text{text}]\) 位於 \(T[\text{axes.note}]\) 之前。依假設，更早的項目都沒有設定大小，因此第一個非 None 的大小來自 \(G[\text{text}]\)。
證明
對 \(e\) 作歸納。若 \(\text{free}(e) \subseteq \text{dom} \beta\)（特別是常數，以及屬於 \(\text{dom} \beta\) 的參數），\(\text{bind}(e, \beta)\) 是一般值 \(e(\beta)\)：它沒有自由參數，符合 (i)，且求值為 \(e(\beta) = e(\beta \cup \gamma)\)，因為運算式的值只取決於其自由參數的值。若 \(e\) 是參數 \(p \notin \text{dom} \beta\)，結果為 \(p\)，\(\text{free} = \lbrace p\rbrace = \text{free}(e) \setminus \text{dom} \beta\)，值為 \(\gamma(p) = (\beta \cup \gamma)(p)\)。否則 \(e = e_1 \circ e_2\)，結果為 \(\text{bind}(e_1, \beta) \circ \text{bind}(e_2, \beta)\)（一般值包裝為常數）。其自由參數為
而 \(\gamma\) 綁定了兩部分各自的自由參數，由歸納假設其值為
證明
兩次應用部分綁定 (i)，兩者的自由參數都是 \(\text{free}(e) \setminus \text{dom} (\beta_1 \cup \beta_2)\)。對這些參數的綁定 \(\gamma\)（與 \(\beta_1\)、\(\beta_2\) 不相交），兩次應用 (ii) 得
畫布以這種方式綁定其場景中的每個運算式。
證明
由 \(r = \left\lceil n / c \right\rceil\) 得 \(r c \ge n > (r - 1) c\)，因此前 \(r - 1\) 列是滿的，最後一列有 \(n - (r - 1) c \in [1, c]\) 格，空格數 \(r c - n < c\)。由 \(c = \left\lceil \sqrt\lbrace n\rbrace \right\rceil\) 得 \(n \le c^2\)，所以 \(n / c \le c\)，\(r \le c\)。