导数、反转与分割
每项运算只作用于控制点，并返回沿用原曲线求值策略的新曲线。
导数
Bézier 曲线的导数 \(B'(t)\) 是其坐标函数（\(t\) 的多项式）的导数，为 \(\mathbb{R}^d\) 中的向量。
引理 · Bernstein 多项式的导数
对 \(n \ge 1\) 与每个整数 \(i\)，
此为 Floater (2025) 的引理 1.4。
定理 · 速端曲线
\(n\) 次 Bézier 曲线（\(n \ge 1\)）的导数是 \(n - 1\) 次 Bézier 曲线
控制点为 \(n(P_{i+1} - P_i)\) 的曲线称为 \(B\) 的速端曲线（Floater (2025) 的定理 1.8；另见 Farin (2002)）。
推论 · 端点切线
\(B'(0) = n(P_1 - P_0)\)，\(B'(1) = n(P_n - P_{n-1})\)。
这说明了曲线为何朝 \(P_1\) 的方向离开 \(P_0\)，并从 \(P_{n-1}\) 的方向抵达 \(P_n\)。
BezierCurve.derivative(order=1)以 BezierCurve 返回 order 阶导数，即套用速端曲线 order 次。常数（0 次）的导数是 0 次的零曲线；order=0 返回曲线本身。
d = curve.derivative()
print(list(d.control_points))
# [Point(coords=(3.0, 6.0)), Point(coords=(6.0, 0.0)), Point(coords=(3.0, -6.0))]
# Point(coords=(4.5, 0.0)): the tangent at the top is horizontal
print(d.at(0.5))
反转
引理 · 对称性
对所有 \(i\) 与 \(t\)，\(b_{i,n}(1 - t) = b_{n-i,n}(t)\)。
命题 · 反转
控制点为 \(P_n, \ldots, P_0\) 的曲线就是 \(t |\to B(1 - t)\)。
BezierCurve.reversed根据反转，返回反向遍历的曲线。
分割
在 \(t = c\) 运行 de Casteljau 算法不只得到曲线值：每一轮的第一个点构成 \(c\) 之前那段曲线的控制多边形，最后一个点构成 \(c\) 之后那段的控制多边形（参见在 \(t = 0.4\) 分割三次曲线。）。
定理 · 分割
令 \(c \in [0, 1]\)，并在 \(t = c\) 计算de Casteljau 点的各点。令 \(L_j = P_0^{(j)}\)、\(R_j = P_j^{(n-j)}\)，\(j = 0, \ldots, n\)。则对每个 \(s \in [0, 1]\)
且
这是经典结果，见 Floater (2025)（第 8.4 节，由 blossom 导出）与 Farin (2002)。
split(c) 返回分割的两条曲线，次数不变，参数范围都是 \([0, 1]\)。segment(t0, t1) 返回曲线在 \(t_0\) 与 \(t_1\) 之间的部分，重新参数化到 \([0, 1]\)；\(t_0 = t_1\) 时返回单点 \(B(t_0)\)，即 0 次曲线。参数超出 \([0, 1]\) 或 \(t_0 > t_1\) 时抛出异常。
segment() 分割两次：先在 \(t_1\) 分割并保留左段，再在 \(t_0 / t_1\) 分割该段并保留右段。
推论 · 截取
对 \(0 \le t_0 < t_1 \le 1\)，segment(t0, t1) 返回的曲线为 \(s |\to B(t_0 + (t_1 - t_0) s)\)。
left, right = curve.split(0.4)
# both B(0.4) = (1.552, 1.44)
print(left.at(1.0), right.at(0.0))
# B(0.5) = (2.0, 1.5)
print(curve.segment(0.25, 0.75).at(0.5))