Bézier 曲线

Bernstein 基底

定义 · Bernstein 多项式

$n \ge 0$ 次 Bernstein 多项式为

\[ b_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}, \quad i = 0, \ldots, n. \]

其他整数 $i$ 令 $b_{i,n} = 0$。

这组多项式出自 Bernstein (1912)；Farouki (2012)回顾其历史与性质，三次的情形如三次 Bernstein 多项式。。以下证明用到两个二项式系数恒等式。

引理 · 二项式恒等式

令 $n \ge 1$，$i$、$j$ 为整数，并约定 $k < 0$ 或 $k > m$ 时 $\binom{m}{k} = 0$。则

\[ \binom{n-1}{j} + \binom{n-1}{j-1} = \binom{n}{j} \]

且

\[ i \binom{n}{i} = n \binom{n-1}{i-1}. \]

三次 Bernstein 多项式。

命题 · Bernstein 基底

对 $n \ge 0$，多项式 $b_{0,n}, \ldots, b_{n,n}$ 是次数不超过 $n$ 的实系数多项式向量空间的一组基底。

这是 Floater (2025) 的定理 1.1；证明从头证明。

命题 · 单位分解

对每个 $t \in [0, 1]$，所有 $b_{i,n}(t) \ge 0$，且

\[ \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) = 1. \]

定义 · Bézier 曲线

设 $P_0, \ldots, P_n \in \mathbb{R}^d$。以 $P_0, \ldots, P_n$ 为控制点的 $n$ 次 Bézier 曲线为

\[ B(t) = \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) P_i, \quad t \in [0, 1], \]

其控制多边形为折线 $P_0 P_1 \ldots P_n$。

此定义依循 B{\'e}zier (1966)，形式如 Farin (2002) 与 Prautzsch (2002)。

命题 · 端点

$b_{i,n}(0)$ 在 $i = 0$ 时为 1，其余为 0；$b_{i,n}(1)$ 在 $i = n$ 时为 1，其余为 0。因此 $B(0) = P_0$、$B(1) = P_n$。

推论 · 凸包

每个 $B(t)$（$t \in [0, 1]$）都位于控制点 $P_0, \ldots, P_n$ 的凸包内。

命题 · 仿射不变性

对每个仿射映射 $A(x) = M x + v$ 与每个 $t \in [0, 1]$，

\[ A(B(t)) = \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) A(P_i). \]

变换曲线等同于变换其控制点。

凸包让曲线不超出控制多边形所张的区域；仿射不变性则是导出器与 Matplotlib 适配器只需移动控制点，就能平移、缩放或旋转曲线的原因。

BernsteinBasis(int)(float)
BernsteinBasis(int).matrix(values)

某一次数的基底，位于 bezierkit.bezier.basis。在 $t$ 调用时，以数组返回 $i = 0, \ldots, n$ 的 $b_{i,n}(t)$；matrix() 对每个参数值返回一列。

曲线

BezierCurve(
    points,
    *,
    evaluator=None
)
BezierCurve.linear(p0, p1)
BezierCurve.quadratic(
    p0,
    p1,
    p2
)
BezierCurve.cubic(
    p0,
    p1,
    p2,
    p3
)

次数 $n$。

维度 $d$。

以 PointSet 表示的控制点。

以 Point 返回 $B(t)$；曲线对象也可直接调用，curve(t)。

at_many()

以 PointSet 返回多个参数下的值。

evaluator

求值策略（见下文）。

不可变的 Bézier 曲线，次数 $n \ge 0$、维度 $d \ge 1$ 均不限，参数范围为 $[0, 1]$。points 可为 Point 序列、PointSet、$(n + 1) \times d$ 数组或 ControlPolygon；所有控制点必须同一维度。

曲线的运算 derivative()、split()、segment() 与 reversed() 详见导数、反转与分割。

求值

de Casteljau 算法以反复的线性插值计算 $B(t)$。

定义 · de Casteljau 点

对参数 $t$，令 $P_i^{(0)} = P_i$，并对 $r = 1, \ldots, n$ 令

\[ P_i^{(r)} = (1 - t) P_i^{(r-1)} + t P_{i+1}^{(r-1)}, \quad i = 0, \ldots, n - r. \]

每一轮对相邻点取平均，多边形少一个点；$n$ 轮后只剩一点（参见de Casteljau 算法，$t = 0.4$。）。此算法源自 Paul de Casteljau 约 1959 年在 Citroën 的工作 M{\"u}ller (2024)。

定理 · de Casteljau

对 $0 \le r \le n$ 与 $0 \le i \le n - r$，

\[ P_i^{(r)} = \sum_{j=0}^r b_{j,r}(t) P_{i+j}. \]

特别地，$P_0^{(n)} = B(t)$。

此叙述见 Floater (2025) 的定理 1.6 与 1.7。

$de Casteljau 算法，$t = 0.4$。$

每个中间点都是控制点的凸组合，算法不会产生互相抵消的大数，因此在高次数时数值稳定。每个参数的计算量为 $O(n^2)$。

DeCasteljauEvaluator

默认的求值策略，位于 bezierkit.bezier.evaluation：以 NumPy 一次对整批参数运行上述算法。

BernsteinEvaluator

以 Bernstein 矩阵乘上控制点。次数低、批量大时较快，但高次数时会求和可能互相抵消的项。根据de Casteljau，两种策略计算的是同一个多项式。

from bezierkit import BezierCurve
from bezierkit.bezier.evaluation import BernsteinEvaluator

fast = BezierCurve(
    curve.control_points, evaluator=BernsteinEvaluator()
)
# Point(coords=(2.0, 1.5)), as with the default
print(fast.at(0.5))

仓库的 benchmarks/ 目录比较两者在 400、10,000 与 100,000 个参数值下的效能。

升阶

$n$ 次曲线也是 $n + 1$ 次曲线；新的控制点是旧控制点中相邻两点的凸组合。

引理 · 升阶恒等式

对 $n \ge 0$、$0 \le i \le n$ 与每个 $t$，

\[ b_{i,n}(t) = (n + 1 - i) / (n + 1) b_{i,n+1}(t) + (i + 1) / (n + 1) b_{i+1,n+1}(t). \]

命题 · 升阶

设 $B$ 的控制点为 $P_0, \ldots, P_n$。对 $k = 0, \ldots, n + 1$ 令

\[ Q_k = k / (n + 1) P_{k-1} + (1 - k / (n + 1)) P_k, \]

其中 $P_{-1}$ 与 $P_{n+1}$ 可任意选取，因为它们的系数为零。则

\[ B(t) = \sum_{k=0}^{n+1} b_{k,n+1}(t) Q_k \quad \text{对所有} t. \]

曲线及其参数化都不变。

此公式是标准结果 Farin (2002)Prautzsch (2002)；证明的证明不依赖它们。直线与二次曲线的三次表示把它用在直线与二次曲线，也就是本软件包需要的情形。

Bézier 曲线

Bernstein 基底

曲线

求值

升阶

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