简介
bezierkit 是处理 Bézier 曲线的小型数学工具软件包。它可由控制点或端点条件构造曲线，计算曲线值与导数，分割与截取曲线，将曲线拟合到函数、采样点与等值线，并输出为 JSON、SVG 路径数据或 TikZ。软件包本身不绘图，绘图交给 Matplotlib、mosaickit 或 LaTeX 文档等绘图端，它们收到的是精确的三次控制点。
符号
点或向量位于某个维度 \(d \ge 1\) 的 \(\mathbb{R}^d\) 中；多数图使用 \(d = 2\)。\(x \in \mathbb{R}^d\) 的欧氏范数为
\(\left\lVert x \right\rVert_\infty = \max_k |x_k|\) 为最大范数。集合 \(S \subseteq \mathbb{R}^d\) 若对所有 \(p, q \in S\) 与 \(\lambda \in [0, 1]\) 都有 \(\lambda p + (1 - \lambda) q \in S\)，称为凸集；有限个点的凸包是它们所有凸组合 \(\sum_i \lambda_i P_i\)（\(\lambda_i \ge 0\) 且 \(\sum_i \lambda_i = 1\)）的集合。映射 \(A: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^e\) 若可写成 \(A(x) = M x + v\)（\(M\) 为矩阵，\(v\) 为向量），称为仿射映射。函数若有直到 \(k\) 阶的连续导数，称为 \(C^k\)。
\(n\) 次 Bézier 曲线有 \(n + 1\) 个控制点 \(P_0, \ldots, P_n\)，定义为映射
其中
为 Bernstein 多项式（详见Bézier 曲线）。依次连接控制点即为控制多边形。软件包中每条曲线的参数范围都是 \([0, 1]\)；超出范围的参数会抛出 ParameterOutOfDomain。符号 \(d\) 一律表示维度，容差写作 \(\epsilon\)。
数学与证明
各章先回顾所用的标准定义并附出处，再以编号的引理、命题、定理与推论陈述算法所依据的性质：Bernstein 基底的保证、de Casteljau 算法为何能计算并分割曲线、Hermite 插值最多偏离多少、导出器因四舍五入损失多少精度。证明集中在证明，只想了解 API 时可略过。属于本软件包而不见于文献的约定，称为软件包约定。标准参考书为 Farin (2002) 与 Prautzsch (2002)；Bernstein 基底另见 Farouki (2012)。
阅读指引
| 主题 | 内容 | 章节 |
|---|---|---|
| 点、向量、参数、异常 | 几何数值对象 | Bernstein 基底、曲线、求值 |
| Bézier 曲线 | 导数、反转、分割 | 导数、反转与分割 |
| 三次线段与分段路径 | 三次线段与路径 | 构造与 Hermite 插值 |
| 建构与 Hermite 插值 | 拟合函数与折线 | 拟合 |
| 描绘等值线 | 等值线 | 采样、JSON、SVG、TikZ、Matplotlib |
| 采样与导出 | 命令行 | 命令行界面 |
初次使用时，先读快速开始与Bézier 曲线。本手册的图本身就是 bezierkit 的输出：每条曲线都由采样与导出的 TikZ 导出器写出，再以 LaTeX 编译。