证明
本附录依各章出现的顺序，证明其中陈述的引理、命题、定理与推论。以下 \(b_{i,n}\) 为Bernstein 多项式的 Bernstein 多项式，\(B\) 为Bézier 曲线的 Bézier 曲线，次数为 \(n\)，控制点为 \(P_0, \ldots, P_n\)。若某个结果在文献中也有证明，章节中会标明出处；此处的证明写成自足的形式，使手册不依赖某一版本的书。
Bernstein 基底与求值
证明
第一式。 依 \(j\) 的位置分别讨论。 - 若 \(j < 0\) 或 \(j > n\)，三个系数都为零，因为 \(j > n\) 蕴含 \(j - 1 > n - 1\)。 - 若 \(j = 0\)，左边为 \(1 + 0 = 1 = \binom{n}{0}\)。 - 若 \(j = n\)，左边为 \(0 + 1 = 1 = \binom{n}{n}\)。 - 若 \(1 \le j \le n - 1\)，通分为 \(j! (n - j)!\)：
第二式。 若 \(i < 1\) 或 \(i > n\)，两边都为零：\(i = 0\) 时左边含因子 \(i = 0\)，且 \(\binom{n-1}{-1} = 0\)；\(i < 0\) 与 \(i > n\) 时每个系数都为零。若 \(1 \le i \le n\)，
证明
次数不超过 \(n\) 的实系数多项式空间 \(\Pi_n\) 的维度为 \(n + 1\)，一组基底为 \(1, t, \ldots, t^n\)。\(n + 1\) 个多项式 \(b_{0,n}, \ldots, b_{n,n}\) 都属于 \(\Pi_n\)，因此只需证明它们线性无关。设对所有 \(t\) 有 \(\sum_{i=0}^n c_i b_{i,n}(t) = 0\)。对 \(t \in (0, 1)\) 除以 \((1 - t)^n > 0\)，并令 \(u = t / (1 - t) \in (0, \infty)\)：
有无穷多个根的 \(u\) 的多项式必为零多项式，所以每个 \(i\) 都有 \(c_i \binom{n}{i} = 0\)。因 \(\binom{n}{i} \ne 0\)，所有 \(c_i = 0\)。
证明
当 \(t \in [0, 1]\) 时，\(t\) 与 \(1 - t\) 都非负，因此每个 \(b_{i,n}(t)\) 都非负。由二项式定理，
证明
约定 \(0^0 = 1\)。\(b_{i,n}(0) = \binom{n}{i} 0^i\) 在 \(i = 0\) 时为 \(1\)，在 \(i \ge 1\) 时为 \(0\)。同理 \(b_{i,n}(1) = \binom{n}{i} 0^{n-i}\) 在 \(i = n\) 时为 \(1\)，在 \(i < n\) 时为 \(0\)。因此 \(B(0) = \sum_i b_{i,n}(0) P_i = P_0\)，\(B(1) = \sum_i b_{i,n}(1) P_i = P_n\)。
证明
由单位分解，\(B(t) = \sum_i \lambda_i P_i\)，其中 \(\lambda_i = b_{i,n}(t) \ge 0\) 且 \(\sum_i \lambda_i = 1\)。由定义，点的凸组合位于这些点的凸包内。
证明
由 \(M\) 的线性与单位分解（\(\sum_i b_{i,n}(t) = 1\)），
证明
对 \(r\) 作归纳。\(r = 0\) 时，\(P_i^{(0)} = P_i = b_{0,0}(t) P_i\)。假设对 \(r - 1\) 与每个容许的 \(i\) 都成立。对 \(0 \le i \le n - r\)，\(i\) 与 \(i + 1\) 对 \(r - 1\) 都是容许的，因此
其中第二个和式以 \(j + 1 \to j\) 重新编号，两端由约定 \(b_{-1,r-1} = b_{r,r-1} = 0\) 涵盖。对 \(0 \le j \le r\)，由二项式恒等式，方括号为
取 \(r = n\)、\(i = 0\)，结论即为 \(P_0^{(n)} = B(t)\)。
证明
把 \(b_{i,n}(t)\) 乘以 \(1 = (1 - t) + t\)：
对 \(0 \le i \le n\)，\(\binom{n+1}{i} = (n + 1) / (n + 1 - i) \cdot \binom{n}{i}\) 且 \(\binom{n+1}{i+1} = (n + 1) / (i + 1) \cdot \binom{n}{i}\)，所以
因此第一项是 \(b_{i,n+1}(t)\) 的 \((n + 1 - i) / (n + 1)\) 倍，第二项是 \(b_{i+1,n+1}(t)\) 的 \((i + 1) / (n + 1)\) 倍。
证明
由升阶恒等式，
其中第一个和式取 \(k = i\)，第二个取 \(k = i + 1\)。第一个和式的系数在 \(k = n + 1\) 为零，可延伸到 \(k = n + 1\)；第二个和式同理可延伸到 \(k = 0\)。合并 \(b_{k,n+1}(t)\) 的系数即得 \(Q_k\)。
导数、反转与分割
证明
依 \(i\) 的取值分别讨论。 - 若 \(i < 0\) 或 \(i > n\)，则 \(b_{i,n} = 0\)，右边两项也为零。 - 若 \(i = 0\)，\(b_{0,n}(t) = (1 - t)^n\) 的导数为 \(-n (1 - t)^{n-1} = n [b_{-1,n-1}(t) - b_{0,n-1}(t)]\)。 - 若 \(i = n\)，\(b_{n,n}(t) = t^n\) 的导数为 \(n t^{n-1} = n [b_{n-1,n-1}(t) - b_{n,n-1}(t)]\)。 - 若 \(1 \le i \le n - 1\)，由乘积法则，
由二项式恒等式，\(i \binom{n}{i} = n \binom{n-1}{i-1}\)；以 \(n - i\) 代替 \(i\) 并利用 \(\binom{n}{n-i} = \binom{n}{i}\)，得 \((n - i) \binom{n}{i} = n \binom{n-1}{i}\)。因此两项分别为 \(n b_{i-1,n-1}(t)\) 与 \(n b_{i,n-1}(t)\)。
证明
由线性与Bernstein 多项式的导数，
第一个和式中 \(i = 0\) 的项为零；代入 \(k = i - 1\) 得 \(\sum_{k=0}^{n-1} b_{k,n-1}(t) P_{k+1}\)。第二个和式中 \(i = n\) 的项为零。因此
证明
由速端曲线，\(B'\) 是控制点为 \(D_k = n(P_{k+1} - P_k)\)（\(k = 0, \ldots, n - 1\)）的 \(n - 1\) 次 Bézier 曲线。对它套用端点，得 \(B'(0) = D_0\)、\(B'(1) = D_{n-1}\)。
证明
对 \(0 \le i \le n\)，由 \(\binom{n}{i} = \binom{n}{n-i}\)，
其他 \(i\) 两边都为零。
证明
令 \(j = n - i\) 重新编号，并利用对称性：
证明
左段。 因 \(1 - c s = (1 - s) + s (1 - c)\)，由二项式定理，
代入 \(j = i + k\)，则 \(0 \le i \le j \le n\) 且 \(n - i - k = n - j\)。\(\binom{n}{i} \binom{n-i}{j-i}\) 与 \(\binom{n}{j} \binom{j}{i}\) 都等于 \(n! / (i! (j-i)! (n-j)!)\)，故
最后一步用de Casteljau取 \(r = j\)、\(i = 0\)：\(P_0^{(j)} = \sum_{i=0}^j b_{i,j}(c) P_i\)。这就是 \(L_j\) 的结论。
右段。 令 \(\overline{B}\) 为控制点 \(\overline{P}_i = P_{n-i}\) 的曲线，由反转，\(\overline{B}(u) = B(1 - u)\)；令 \(\overline{c} = 1 - c\)。对 \(\overline{B}\) 套用左段，
其中由对称性与代换 \(l = j - i\)，
倒数第二个等号是de Casteljau取 \(r = j\)、\(i = n - j\)，此指标是容许的，因为 \(n - j \le n - r\)。因此再用一次对称性，
证明
令 \(a = t_0\)、\(e = t_1\)，则 \(0 \le a < e \le 1\)。由分割取 \(c = e\)，左段是控制点为 \(L_0, \ldots, L_n\) 的 Bézier 曲线 \(u |\to B(e u)\)。对它再套用分割，取 \(c' = a / e \in [0, 1)\) 并保留右段：