高级模型

高级模型能以自定义函数、两种以上的商品，或劣等品与吉芬商品，扩展内置的效用模型。

可扩展模型

预先定义的两商品模型不足以描述偏好时，可以使用这组模型。

自定义效用函数多商品 Cobb-Douglas

CustomUtility 能把任何向量化的 Python 可调用函数包装成 econ-viz 模型。

\[ U(x,y)=\ln x+\ln y \]

上式只是其中一个示例。函数必须接受两个 NumPy 数组，并返回形状相同的数组。

参数

参数	含义
func	以 \(x\) 与 \(y\) 为变量的向量化效用函数
name	自定义模型的显示名称

代码

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CustomUtility

model = CustomUtility(
    func=lambda x, y: np.log(x) + np.log(y),
    name="log+log",
)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Custom Utility")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("custom.png")
)

MultiGoodCD 描述 \(N\) 种商品的 Cobb-Douglas 偏好。

\[ U(x_1,\ldots,x_N)=\prod_{i=1}^{N}x_i^{\alpha_i} \]

freeze() 会固定 \(x\) 与 \(y\) 以外的商品，再返回能画在二维画布上的 CustomUtility。

参数

参数	含义
shares	商品名称与指数 \(\alpha_i\) 的对应
freeze(...)	\(x\)、\(y\) 以外商品的固定数量

代码

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import MultiGoodCD

model = MultiGoodCD({"x": 0.3, "y": 0.3, "z": 0.4})
two_good_model = model.freeze(z=10.0)
eq = solve(two_good_model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Multi-Good Cobb-Douglas")
    .add_utility(
        two_good_model,
        levels=levels.around(eq.utility, n=5),
    )
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0, fill=True)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("multigood.png")
)

劣等品与吉芬商品

Haagsma 实现 Haagsma（2012） 提出的效用函数。在这个函数中，商品 \(x\) 一定是劣等品，收入足够高时更会成为吉芬商品。

\[ U(x,y)=\alpha_x\ln(x-\gamma_x)-\alpha_y\ln(\gamma_y-y), \qquad 0<\alpha_x<\alpha_y,\quad x>\gamma_x,\quad 0\le y<\gamma_y \]

在内部解时，\(x\) 的马歇尔需求有闭式解：

\[ x^*=\frac{\alpha_x(\gamma_y p_y-I)}{(\alpha_y-\alpha_x)\,p_x}+\frac{\alpha_y\gamma_x}{\alpha_y-\alpha_x} \]

因此不论价格与收入为何，\(\partial x^*/\partial I<0\)。\(\partial x^*/\partial p_x\) 的正负则取决于收入：

收入	商品 \(x\)
\(I<\gamma_y p_y\)	劣等品；\(p_x\) 上升时需求仍会减少
\(I=\gamma_y p_y\)	劣等品；替代效应与收入效应刚好抵消
\(\gamma_y p_y<I<\gamma_y p_y+\gamma_x p_x\)	吉芬商品；需求随 \(p_x\) 上升而增加

当 \(I\ge\gamma_y p_y+\gamma_x p_x\) 时，消费者能让 \(y\) 无限逼近 \(\gamma_y\)，效用没有上界，因此不存在最优解，solve() 会抛出错误。

参数

参数	含义
alpha_x	商品 \(x\) 的权重 \(\alpha_x\)，须小于 alpha_y
alpha_y	商品 \(y\) 的权重 \(\alpha_y\)
gamma_x	商品 \(x\) 的下限 \(\gamma_x\)
gamma_y	商品 \(y\) 的上限 \(\gamma_y\)

demand(px, py, income) 返回闭式解的消费组合，is_giffen(px, py, income) 判断 \(x\) 是否为吉芬商品。

示例

from econ_viz import Canvas, Effect
from econ_viz.models import Haagsma
from econ_viz.optimizer import decompose_price_effect

model = Haagsma(alpha_x=1.0, alpha_y=2.0, gamma_x=2.0, gamma_y=27.0)
model.is_giffen(px=2.0, py=1.0, income=28.0)  # True

result = decompose_price_effect(model, px=(2.0, 1.0), py=1.0, income=28.0, method="hicks")

(
    Canvas(x_max=16, y_max=32, title="Haagsma: Giffen good")
    .add_decomposition(
        result,
        show_x_projections=True,
        substitution=Effect(label="SE"),
        income=Effect(label="IE"),
    )
    .save("haagsma.png")
)

\(p_x\) 从 2 降到 1 时，替代效应使 \(x\) 增加 4.5，收入效应却使 \(x\) 减少 5，所以 \(x\) 的需求反而下降。

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