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核心模型

核心模型涵盖平滑偏好、折点与线性偏好，以及具有收入或参考点效应的偏好。 先选择模型分组，再用选项卡切换并比较模型。

平滑偏好

这组模型会产生平滑的无差异曲线；价格与收入为正时，通常会得到内点解。

Cobb-Douglas 是描述平滑、严格凸偏好的标准模型。

\[ U(x,y)=x^\alpha y^\beta \]

指数决定两种商品在效用中的相对权重。无差异曲线会接近两轴，但不会接触两轴。

参数

参数 默认值 含义
alpha 0.5 商品 \(x\) 的权重
beta 0.5 商品 \(y\) 的权重

代码

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CobbDouglas

model = CobbDouglas(alpha=0.5, beta=0.5)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Cobb-Douglas")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0, fill=True)
    .add_equilibrium(eq, show_ray=True)
    .save("cobb_douglas.png")
)

Cobb-Douglas 无差异曲线图

CES 能在保持平滑偏好的同时，调整两种商品的替代难易度。

\[ U(x,y)=\left(\alpha x^\rho+\beta y^\rho\right)^{1/\rho} \]

替代弹性是 \(\sigma=1/(1-\rho)\)。改变 \(\rho\) 时，CES 会接近 Cobb-Douglas、完全互补或完全替代。

参数

参数 默认值 含义
alpha 0.5 商品 \(x\) 的权重
beta 0.5 商品 \(y\) 的权重
rho 0.5 替代参数，且 \(\rho\ne1\)

代码

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CES

model = CES(alpha=0.5, beta=0.5, rho=-0.5)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="CES")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("ces.png")
)

CES 无差异曲线图

Translog 是描述平滑偏好的灵活对数二次模型。

\[ \begin{aligned} \ln U(x,y)={}&\alpha_0+\alpha_x\ln x+\alpha_y\ln y\\ &+\tfrac12\beta_{xx}(\ln x)^2 +\tfrac12\beta_{yy}(\ln y)^2 +\beta_{xy}\ln x\ln y \end{aligned} \]

二次项与交叉项让曲率能随消费束改变。所有 \(\beta\) 系数都设为零时， 会得到类似 Cobb-Douglas 的对数线性形式。

参数

参数 默认值 含义
alpha_0 0.0 对数效用截距
alpha_x 0.5 \(\ln x\) 的一次项权重
alpha_y 0.5 \(\ln y\) 的一次项权重
beta_xx 0.0 \(x\) 方向的曲率
beta_yy 0.0 \(y\) 方向的曲率
beta_xy 0.0 \(x\) 与 \(y\) 的交叉效应

代码

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import Translog

model = Translog(alpha_x=0.6, alpha_y=0.4, beta_xy=0.12)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=18, y_max=12, title="Translog")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=4))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("translog.png")
)

Translog 无差异曲线图

折点与角点

这组模型体现非光滑或线性偏好如何改变最优点的位置。

完全互补偏好描述以固定比例搭配消费的商品。

\[ U(x,y)=\min(ax,by) \]

无差异曲线呈 L 型。最优点位于两个加权数量相等的折点。

参数

参数 默认值 含义
a 1.0 商品 \(x\) 的权重
b 1.0 商品 \(y\) 的权重

代码

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import Leontief

model = Leontief(a=1.0, b=1.0)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="完全互补")
    .add_utility(
        model,
        levels=levels.around(eq.utility, n=5),
        show_rays=True,
        show_kinks=True,
    )
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("leontief.png")
)

完全互补无差异曲线图

完全替代偏好让两种商品之间的效用交换比例保持固定。

\[ U(x,y)=ax+by \]

无差异曲线是直线。消费者通常只选择每元边际效用较高的商品，因此形成角点解。

参数

参数 默认值 含义
a 1.0 商品 \(x\) 的边际效用
b 1.0 商品 \(y\) 的边际效用

代码

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import PerfectSubstitutes

model = PerfectSubstitutes(a=1.0, b=2.0)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Perfect Substitutes")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("perfect_substitutes.png")
)

完全替代无差异曲线图

最大值效用只取每个消费组合中较大的加权数量。

\[ U(x,y)=\max(ax,by) \]

每条无差异曲线有两条朝坐标轴延伸的直角线段，因此偏好不是凸的。在 线性预算约束下，最优选择通常落在加权效用较高的轴截距。

参数

参数 默认值 含义
a 1.0 商品 \(x\) 的权重
b 1.0 商品 \(y\) 的权重

代码

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CustomUtility

a, b = 1.0, 1.0
model = CustomUtility(
    func=lambda x, y: np.maximum(a * x, b * y),
    name="maximum",
)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=25, y_max=20, title="最大值效用")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("maximum.png")
)

最大值效用无差异曲线图

收入与参考点

这组模型加入特殊收入效应、最低消费量或偏好的消费参考点。

拟线性偏好让其中一种商品以线性方式进入效用。

\[ U(x,y)=f(x)+y \]

得到内点解后，非线性商品没有收入效应。linear_in 可以对调 \(x\) 与 \(y\) 的角色。

参数

参数 默认值 含义
v_func numpy.log 递增且凹的函数 \(f\)
linear_in "y" 线性进入的商品

代码

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import QuasiLinear

model = QuasiLinear(v_func=np.log, linear_in="y")
eq = solve(model, px=2.0, py=1.0, income=20.0)

(
    Canvas(x_max=15, y_max=15, title="Quasi-Linear")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 1.0, 20.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("quasi_linear.png")
)

拟线性无差异曲线图

Stone-Geary 在 Cobb-Douglas 中加入最低消费需求。

\[ U(x,y)=(x-\bar{x})^\alpha(y-\bar{y})^\beta \]

消费者先满足最低消费量 \(\bar{x}\) 与 \(\bar{y}\)，再像 Cobb-Douglas 消费者 一样分配剩余收入。

参数

参数 默认值 含义
alpha 0.5 超额 \(x\) 的权重
beta 0.5 超额 \(y\) 的权重
bar_x 1.0 最低消费量 \(\bar{x}\)
bar_y 1.0 最低消费量 \(\bar{y}\)

代码

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import StoneGeary

model = StoneGeary(alpha=0.5, beta=0.5, bar_x=2.0, bar_y=2.0)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Stone-Geary")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0, fill=True)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("stone_geary.png")
)

Stone-Geary 无差异曲线图

饱和偏好有一个使效用达到最高的极乐点。

\[ U(x,y)=-a(x-x^*)^2-b(y-y^*)^2 \]

离开 \((x^*,y^*)\) 后，效用往任何方向都会下降，因此无差异曲线是封闭椭圆， 且偏好不具单调性。

参数

参数 默认值 含义
bliss_x 5.0 极乐点坐标 \(x^*\)
bliss_y 5.0 极乐点坐标 \(y^*\)
a 1.0 \(x\) 轴方向的曲率
b 1.0 \(y\) 轴方向的曲率

代码

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels
from econ_viz.models import Satiation

model = Satiation(bliss_x=6.0, bliss_y=4.0)
x = np.linspace(0.1, 12.0, 300)
y = np.linspace(0.1, 10.0, 300)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

(
    Canvas(x_max=12, y_max=10, title="Satiation")
    .add_utility(model, levels=levels.percentile(model(X, Y), n=5))
    .save("satiation.png")
)

饱和无差异曲线图

自定义函数与多商品 Cobb-Douglas 模型请参阅高级模型。

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