進階模型

進階模型能以自訂函數、兩種以上的商品，或劣等財與季芬財，擴充內建的效用模型。

可擴充模型

預先定義的兩商品模型不足以描述偏好時，可以使用這組模型。

自訂效用函數多商品 Cobb-Douglas

CustomUtility 能把任何向量化的 Python 可呼叫函數包裝成 econ-viz 模型。

\[ U(x,y)=\ln x+\ln y \]

上式只是其中一個例子。函數必須接受兩個 NumPy 陣列，並回傳形狀相同的陣列。

參數

參數	意義
func	以 \(x\) 與 \(y\) 為變數的向量化效用函數
name	自訂模型的顯示名稱

程式碼

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CustomUtility

model = CustomUtility(
    func=lambda x, y: np.log(x) + np.log(y),
    name="log+log",
)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Custom Utility")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("custom.png")
)

MultiGoodCD 描述 \(N\) 種商品的 Cobb-Douglas 偏好。

\[ U(x_1,\ldots,x_N)=\prod_{i=1}^{N}x_i^{\alpha_i} \]

freeze() 會固定 \(x\) 與 \(y\) 以外的商品，再回傳能畫在二維畫布上的 CustomUtility。

參數

參數	意義
shares	商品名稱與指數 \(\alpha_i\) 的對應
freeze(...)	\(x\)、\(y\) 以外商品的固定數量

程式碼

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import MultiGoodCD

model = MultiGoodCD({"x": 0.3, "y": 0.3, "z": 0.4})
two_good_model = model.freeze(z=10.0)
eq = solve(two_good_model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Multi-Good Cobb-Douglas")
    .add_utility(
        two_good_model,
        levels=levels.around(eq.utility, n=5),
    )
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0, fill=True)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("multigood.png")
)

劣等財與季芬財

Haagsma 實作 Haagsma（2012） 提出的效用函數。在這個函數中，商品 \(x\) 一定是劣等財，所得夠高時更會成為季芬財。

\[ U(x,y)=\alpha_x\ln(x-\gamma_x)-\alpha_y\ln(\gamma_y-y), \qquad 0<\alpha_x<\alpha_y,\quad x>\gamma_x,\quad 0\le y<\gamma_y \]

在內部解時，\(x\) 的馬歇爾需求有封閉解：

\[ x^*=\frac{\alpha_x(\gamma_y p_y-I)}{(\alpha_y-\alpha_x)\,p_x}+\frac{\alpha_y\gamma_x}{\alpha_y-\alpha_x} \]

因此不論價格與所得為何，\(\partial x^*/\partial I<0\)。\(\partial x^*/\partial p_x\) 的正負則取決於所得：

所得	商品 \(x\)
\(I<\gamma_y p_y\)	劣等財；\(p_x\) 上升時需求仍會減少
\(I=\gamma_y p_y\)	劣等財；替代效果與所得效果剛好抵銷
\(\gamma_y p_y<I<\gamma_y p_y+\gamma_x p_x\)	季芬財；需求隨 \(p_x\) 上升而增加

當 \(I\ge\gamma_y p_y+\gamma_x p_x\) 時，消費者能讓 \(y\) 無限逼近 \(\gamma_y\)，效用沒有上界，因此不存在最適解，solve() 會拋出錯誤。

參數

參數	意義
alpha_x	商品 \(x\) 的權重 \(\alpha_x\)，須小於 alpha_y
alpha_y	商品 \(y\) 的權重 \(\alpha_y\)
gamma_x	商品 \(x\) 的下限 \(\gamma_x\)
gamma_y	商品 \(y\) 的上限 \(\gamma_y\)

demand(px, py, income) 回傳封閉解的消費組合，is_giffen(px, py, income) 判斷 \(x\) 是否為季芬財。

範例

from econ_viz import Canvas, Effect
from econ_viz.models import Haagsma
from econ_viz.optimizer import decompose_price_effect

model = Haagsma(alpha_x=1.0, alpha_y=2.0, gamma_x=2.0, gamma_y=27.0)
model.is_giffen(px=2.0, py=1.0, income=28.0)  # True

result = decompose_price_effect(model, px=(2.0, 1.0), py=1.0, income=28.0, method="hicks")

(
    Canvas(x_max=16, y_max=32, title="Haagsma: Giffen good")
    .add_decomposition(
        result,
        show_x_projections=True,
        substitution=Effect(label="SE"),
        income=Effect(label="IE"),
    )
    .save("haagsma.png")
)

\(p_x\) 從 2 降到 1 時，替代效果使 \(x\) 增加 4.5，所得效果卻使 \(x\) 減少 5，所以 \(x\) 的需求反而下降。

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