核心模型

核心模型涵蓋平滑偏好、折點與線性偏好，以及具有所得或參考點效果的偏好。先選擇模型群組，再用分頁切換並比較模型。

平滑偏好

這組模型會產生平滑的無異曲線；價格與所得為正時，通常會得到內點解。

Cobb-DouglasCESTranslog

Cobb-Douglas 是描述平滑、嚴格凸偏好的標準模型。

\[ U(x,y)=x^\alpha y^\beta \]

指數決定兩種商品在效用中的相對權重。無異曲線會接近兩軸，但不會碰到兩軸。

參數

參數	預設值	意義
`alpha`	`0.5`	商品 \(x\) 的權重
`beta`	`0.5`	商品 \(y\) 的權重

程式碼

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CobbDouglas

model = CobbDouglas(alpha=0.5, beta=0.5)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Cobb-Douglas")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0, fill=True)
    .add_equilibrium(eq, show_ray=True)
    .save("cobb_douglas.png")
)

Cobb-Douglas 無異曲線圖

CES 能在維持平滑偏好的同時，調整兩種商品的替代難易度。

\[ U(x,y)=\left(\alpha x^\rho+\beta y^\rho\right)^{1/\rho} \]

替代彈性是 \(\sigma=1/(1-\rho)\)。改變 \(\rho\) 時，CES 會接近 Cobb-Douglas、完全互補或完全替代。

參數

參數	預設值	意義
`alpha`	`0.5`	商品 \(x\) 的權重
`beta`	`0.5`	商品 \(y\) 的權重
`rho`	`0.5`	替代參數，且 \(\rho\ne1\)

程式碼

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CES

model = CES(alpha=0.5, beta=0.5, rho=-0.5)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="CES")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("ces.png")
)

CES 無異曲線圖

Translog 是描述平滑偏好的彈性對數二次模型。

\[ \begin{aligned} \ln U(x,y)={}&\alpha_0+\alpha_x\ln x+\alpha_y\ln y\\ &+\tfrac12\beta_{xx}(\ln x)^2 +\tfrac12\beta_{yy}(\ln y)^2 +\beta_{xy}\ln x\ln y \end{aligned} \]

二次項與交叉項讓曲率能隨消費組合改變。所有 \(\beta\) 係數都設為零時，會得到類似 Cobb-Douglas 的對數線性形式。

參數

參數	預設值	意義
`alpha_0`	`0.0`	對數效用截距
`alpha_x`	`0.5`	\(\ln x\) 的一次項權重
`alpha_y`	`0.5`	\(\ln y\) 的一次項權重
`beta_xx`	`0.0`	\(x\) 方向的曲率
`beta_yy`	`0.0`	\(y\) 方向的曲率
`beta_xy`	`0.0`	\(x\) 與 \(y\) 的交叉效果

程式碼

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import Translog

model = Translog(alpha_x=0.6, alpha_y=0.4, beta_xy=0.12)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=18, y_max=12, title="Translog")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=4))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("translog.png")
)

Translog 無異曲線圖

折點與角點

這組模型呈現不平滑或線性偏好如何改變最適點的位置。

完全互補完全替代最大值效用

完全互補偏好描述以固定比例搭配消費的商品。

\[ U(x,y)=\min(ax,by) \]

無異曲線呈 L 型。最適點位於兩個加權數量相等的拗折點。

參數

參數	預設值	意義
`a`	`1.0`	商品 \(x\) 的權重
`b`	`1.0`	商品 \(y\) 的權重

程式碼

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import Leontief

model = Leontief(a=1.0, b=1.0)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="完全互補")
    .add_utility(
        model,
        levels=levels.around(eq.utility, n=5),
        show_rays=True,
        show_kinks=True,
    )
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("leontief.png")
)

完全互補無異曲線圖

完全替代偏好讓兩種商品之間的效用交換比例維持固定。

\[ U(x,y)=ax+by \]

無異曲線是直線。消費者通常只選擇每元邊際效用較高的商品，因此形成角點解。

參數

參數	預設值	意義
`a`	`1.0`	商品 \(x\) 的邊際效用
`b`	`1.0`	商品 \(y\) 的邊際效用

程式碼

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import PerfectSubstitutes

model = PerfectSubstitutes(a=1.0, b=2.0)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Perfect Substitutes")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("perfect_substitutes.png")
)

完全替代無異曲線圖

最大值效用只取每個消費組合中較大的加權數量。

\[ U(x,y)=\max(ax,by) \]

每條無異曲線有兩條朝坐標軸延伸的直角線段，因此偏好不是凸的。在線性預算限制下，最適選擇通常落在加權效用較高的軸截距。

參數

參數	預設值	意義
`a`	`1.0`	商品 \(x\) 的權重
`b`	`1.0`	商品 \(y\) 的權重

程式碼

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import CustomUtility

a, b = 1.0, 1.0
model = CustomUtility(
    func=lambda x, y: np.maximum(a * x, b * y),
    name="maximum",
)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=25, y_max=20, title="最大值效用")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("maximum.png")
)

最大值效用無異曲線圖

所得與參考點

這組模型加入特殊所得效果、基本需求量或偏好的消費參考點。

準線性Stone-Geary飽和

準線性偏好讓其中一種商品以線性方式進入效用。

\[ U(x,y)=f(x)+y \]

得到內點解後，非線性商品沒有所得效果。linear_in 可以對調 \(x\) 與 \(y\) 的角色。

參數

參數	預設值	意義
`v_func`	`numpy.log`	遞增且凹的函數 \(f\)
`linear_in`	`"y"`	線性進入的商品

程式碼

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import QuasiLinear

model = QuasiLinear(v_func=np.log, linear_in="y")
eq = solve(model, px=2.0, py=1.0, income=20.0)

(
    Canvas(x_max=15, y_max=15, title="Quasi-Linear")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 1.0, 20.0)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("quasi_linear.png")
)

準線性無異曲線圖

Stone-Geary 在 Cobb-Douglas 中加入最低消費需求。

\[ U(x,y)=(x-\bar{x})^\alpha(y-\bar{y})^\beta \]

消費者先滿足基本需求量 \(\bar{x}\) 與 \(\bar{y}\)，再像 Cobb-Douglas 消費者一樣分配剩餘所得。

參數

參數	預設值	意義
`alpha`	`0.5`	超額 \(x\) 的權重
`beta`	`0.5`	超額 \(y\) 的權重
`bar_x`	`1.0`	基本需求量 \(\bar{x}\)
`bar_y`	`1.0`	基本需求量 \(\bar{y}\)

程式碼

from econ_viz import Canvas, levels, solve
from econ_viz.models import StoneGeary

model = StoneGeary(alpha=0.5, beta=0.5, bar_x=2.0, bar_y=2.0)
eq = solve(model, px=2.0, py=3.0, income=30.0)

(
    Canvas(x_max=20, y_max=15, title="Stone-Geary")
    .add_utility(model, levels=levels.around(eq.utility, n=5))
    .add_budget(2.0, 3.0, 30.0, fill=True)
    .add_equilibrium(eq)
    .save("stone_geary.png")
)

Stone-Geary 無異曲線圖

飽和偏好有一個使效用達到最高的極樂點。

\[ U(x,y)=-a(x-x^*)^2-b(y-y^*)^2 \]

離開 \((x^*,y^*)\) 後，效用往任何方向都會下降，因此無異曲線是封閉橢圓，且偏好不具單調性。

參數

參數	預設值	意義
`bliss_x`	`5.0`	極樂點座標 \(x^*\)
`bliss_y`	`5.0`	極樂點座標 \(y^*\)
`a`	`1.0`	\(x\) 軸方向的曲率
`b`	`1.0`	\(y\) 軸方向的曲率

程式碼

import numpy as np
from econ_viz import Canvas, levels
from econ_viz.models import Satiation

model = Satiation(bliss_x=6.0, bliss_y=4.0)
x = np.linspace(0.1, 12.0, 300)
y = np.linspace(0.1, 10.0, 300)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

(
    Canvas(x_max=12, y_max=10, title="Satiation")
    .add_utility(model, levels=levels.percentile(model(X, Y), n=5))
    .save("satiation.png")
)

飽和無異曲線圖

自訂函數與多商品 Cobb-Douglas 模型請見進階模型。

核心模型

平滑偏好

折點與角點

所得與參考點

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