分析

econ-viz 除了繪圖與求解均衡，也提供分析工具。

比較靜態

用 comparative_statics(...) 以數值方法估計 Marshall 需求的六個導數：

from econ_viz.models import CobbDouglas
from econ_viz.optimizer import comparative_statics

model = CobbDouglas(alpha=0.4, beta=0.6)
cs = comparative_statics(model, px=2.0, py=3.0, income=60.0)

print(round(cs.dx_dpx, 1), round(cs.dx_dpy, 1), round(cs.dx_dI, 1))
print(round(cs.dy_dpx, 1), round(cs.dy_dpy, 1), round(cs.dy_dI, 1))

# -6.0 0.0 0.2
# 0.0 -4.0 0.2

說明：

在 solve(...) 的結果附近使用中央有限差分
預設的相對步長是 1e-3
遇到經濟上不尋常的符號時會發出警告，例如Giffen 財式的自身價格反應，或劣等財的所得效果

Slutsky 矩陣

用 slutsky_matrix(...) 計算 Slutsky 方程式所隱含的兩商品替代矩陣。

from econ_viz import slutsky_matrix
from econ_viz.models import CobbDouglas

S = slutsky_matrix(
    CobbDouglas(alpha=0.4, beta=0.6),
    px=2.0, py=3.0, income=60.0,
)

print(round(S.s_xx, 1), round(S.s_xy, 1))
print(round(S.s_yx, 1), round(S.s_yy, 1))
print(S.as_array().round(1))

# -3.6 2.4
# 2.4 -1.6
# [[-3.6  2.4]
#  [ 2.4 -1.6]]

需要的是補償性價格效果，而不只是原始的 Marshall 導數時，就用這個工具。

齊次性分析

用 HomogeneityAnalyzer 檢查效用函數是否為齊次或位似。

可用的檢查

分析器提供以下四項檢查：

degree() 估計齊次的次數
euler_check(x, y) 計算某個消費組合上的 Euler 定理殘差
is_homothetic() 檢查邊際替代率（MRS）在等比例縮放下是否不變
demand_degree_zero(px, py, income) 驗證 Marshall 需求是否為零次齊次

程式碼範例

from econ_viz.analysis import HomogeneityAnalyzer
from econ_viz.models import CobbDouglas

analyzer = HomogeneityAnalyzer(CobbDouglas(alpha=0.4, beta=0.6))
result = analyzer.degree()

print(round(result.degree, 6))
print(result.returns_to_scale)
print(round(analyzer.euler_check(3.0, 4.0), 6))
print(analyzer.is_homothetic())
print(analyzer.demand_degree_zero(px=2.0, py=3.0, income=60.0))

# 1.0
# ReturnsToScale.CONSTANT
# 0.0
# True
# True

規模報酬分類

degree() 會回傳 HomogeneityResult，其中包含估計的次數，以及 ReturnsToScale 分類：

Cobb–Douglas 效用函數的齊次次數是 \(\alpha+\beta\)：

\[ U(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{\alpha+\beta} U(x,y) \]

\(\alpha+\beta>1\)：INCREASING（規模報酬遞增）
\(\alpha+\beta=1\)：CONSTANT（規模報酬固定）
\(\alpha+\beta<1\)：DECREASING（規模報酬遞減）

無法得到一致齊次次數的函數會分類為 NOT_HOMOGENEOUS（非齊次）。

分類範例

def shifted_utility(x, y):
    return x**0.4 * y**0.6 + 1.0


models = [
    CobbDouglas(alpha=0.7, beta=0.6),
    CobbDouglas(alpha=0.4, beta=0.6),
    CobbDouglas(alpha=0.2, beta=0.5),
    shifted_utility,
]

for model in models:
    result = HomogeneityAnalyzer(model).degree()
    degree = None if result.degree is None else round(result.degree, 1)
    print(degree, result.returns_to_scale.name)

# 1.3 INCREASING
# 1.0 CONSTANT
# 0.7 DECREASING
# None NOT_HOMOGENEOUS

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